• Zarejestrowany: 2010-03-04
  • Posty: 2

Temat: Dziwny szereg

Chcę wysumować następuący szereg:

tmp = 
-6 / ( (-3 + 4 m (1 + m) )*(-1 + 2 m + 4 n)*(3 + 2 m + 4 n)*(-1 + 4 n^2)*\[Pi]^2 )

po n i m całkowitych. Wywołanie

Sum[tmp, {n, -\[Infinity], \[Infinity]}, {m, -\[Infinity], \[Infinity]}]

nie daje wyniku w rozsądnym czasie (kilka godzin).
Jeżeli policzymy szereg najpierw po n, a potem po m to dostajemy:

FullSimplify[Sum[tmp, {n, -\[Infinity], \[Infinity]}
,Assumptions -> m \[Element] Integers], Assumptions -> m \[Element] Integers] =
(12 Tan[1/4 (\[Pi] + 2 m \[Pi])])/((45+18 m-200 m^2-80 m^3+80 m^4+32 m^5) \[Pi])

FullSimplify@ToRadicals@Sum[%, {m, -\[Infinity], \[Infinity]}] = 1/4

Natomiast jeśli zmienimy kolejność sumowania, to dostajemy:

FullSimplify[Sum[tmp, {m, -\[Infinity], \[Infinity]}
,Assumptions -> n \[Element] Integers], Assumptions -> n \[Element] Integers] = 0

Ostatni wynik jest na pewno błędny, gdyż wszystkie elementy tego szeregu są 0 oprócz jednego:

FullSimplify[Sum[tmp, {m, -\[Infinity], \[Infinity]}
,Assumptions -> n \[Element] Integers]] = 
(3 Tan[2 n \[Pi]])/(32 (n - 5 n^3 + 4 n^5) \[Pi])

Limit[%, n -> 0] = 3/32

Sumowanie numeryczne do m,n = 100 potwierdza wynik 1/4, ale chciałbym zrozumieć co tu się dzieje...

  • Zarejestrowany: 2009-09-19
  • Posty: 44

Odp: Dziwny szereg

Nie widzę sprzeczności w tym, że odwrócenie porządku przejść granicznych prowadzi do odmiennych rezultatów.

Andrzej Woszczyna's Strona

  • Zarejestrowany: 2010-03-04
  • Posty: 2

Odp: Dziwny szereg

Tak faktycznie może się zdarzyć, ale akurat tutaj, to jest ewidentny błąd upraszczania Mathematici. Jeżeli dokładnie policzy się granice dla wszystkich zer mianownika to wyniki są zgodne.

Prosty przykład:

FullSimplify[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), Assumptions -> x \[Element] Integers]

daje wynik 0 (Mathematica 7.0.1.0), co nie jest prawdą, bo w x=0 i x=1 funkcja ma skończoną wartość -\Pi. Ten błąd prowadzi do przedziwnych wyników dla sum szeregu:

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,-\[Infinity],\[Infinity]}]

- nie chce się policzyć

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,-\[Infinity],7}]

- daje 0

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,-7,\[Infinity]}]

- też daje 0

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,-7,7}]

- zwraca "Indeterminate"

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,k,n}]

- wyrzuca jakieś paskudne funkcje specjalne, a

Sum[Sin[\[Pi] x]/(x (x - 1)), {x,-k,k}]

- zwraca -2 \pi, czyli poprawny wynik - co ciekawe bez żadnych założeń dotyczących k.

  • Zarejestrowany: 2009-09-19
  • Posty: 44

Odp: Dziwny szereg

Zgoda!
Ten sam problem ma funkcja Sin[\[Pi] x]/(x ):

FullSimplify[Sin[\[Pi] x]/(x ),Assumptions->x\[Element]Integers]
daje zero.

Andrzej Woszczyna's Strona