• Skąd: IFUJ
  • Zarejestrowany: 2009-09-24
  • Posty: 8

Temat: Series i Integrate - jak rozwinac w szereg funkcje dana jako calka

Czy ktos ma pomysl jak zmusic Mathematice, aby rozwinela w szereg funkcje, np::

Integrate[
 1/Sqrt[(t + 1)^2*(t*(1/3) + 1) - t*(t + 2)*(2/3)], {t, 0, z}]

Teoretycznie wystarczy poczekac, az Mathematica ,,podda'' calke
i wywolac:

Series[%,{z,0,3}]

Z tym, ze liczy ja juz 2 godzine...Probowalem TimeConstrained,
ale wtedy zwraca $Aborted.

Mathematica 7.0.1, Windows 7 64bit, 6 GB RAM

aodrzywolek's Strona

  • Zarejestrowany: 2009-09-19
  • Posty: 44

Odp: Series i Integrate - jak rozwinac w szereg funkcje dana jako calka

Proponuję najpierw policzyc całkę nieoznaczoną:

Integrate[1/Sqrt[(t+1)^2*(t*(1/3)+1)-t*(t+2)*(2/3)],t]//FullSimplify

Andrzej Woszczyna's Strona

3 Odpowiedź przez aodrzywolek

  • Skąd: IFUJ
  • Zarejestrowany: 2009-09-24
  • Posty: 8

Odp: Series i Integrate - jak rozwinac w szereg funkcje dana jako calka

Rozwiązanie podane przez M. Ecksteina:

Series[Integrate[f[t],{t,0,z}],{z,0,3}]

% /. f->(1/Sqrt[(#+1)^2*(#*(1/3)+1)-#*(#+2)*(2/3)]&)
Mathematica 7.0.1, Windows 7 64bit, 6 GB RAM

aodrzywolek's Strona

  • Zarejestrowany: 2009-09-19
  • Posty: 44

Odp: Series i Integrate - jak rozwinac w szereg funkcje dana jako calka

Mimo wszystko nie rozumiem, jaką role ma do spełnienia całka oznaczona, skoro całkę nieoznaczoną mozna policzyć natychmiast i odjać wartosc w zerze.

f[t_]=Integrate[1/Sqrt[(t+1)^2*(t*(1/3)+1)-t*(t+2)*(2/3)],t]//FullSimplify
f0=Simplify[Limit[f[t],t->0],0<t];
g[z_]=f[z]-f0
Series[g[t],{t,0,3}]//N//Chop

Widać teraz, że problem ulokowany jest w przejściu granicznym do zera z pewną funkcją eliptyczną. Wyskakuje alert, ale kernel liczy. Jak się to potem narysuje wszystko jest  OK.

Andrzej Woszczyna's Strona

5 Odpowiedź przez aodrzywolek

  • Skąd: IFUJ
  • Zarejestrowany: 2009-09-24
  • Posty: 8

Odp: Series i Integrate - jak rozwinac w szereg funkcje dana jako calka

W tym konkretnym przypadku rzeczywiście można zrobić jak piszesz wyżej. Ale co zrobić w sytuacji,
gdy czas niezbędny do obliczenia całki wynosi np. 2 godziny? A nas interesuje tylko rozwiniecie
w szereg, nie dokladny wynik, na dodatek chcemy ten wynik dostac od razu.

Inaczej mówiąc: czy jest sposób aby zmusić Integrate do poddania całki po określonym czasie, powiedzmy 10 sekund, lub od razu. Series umie liczyć takie rzeczy o czym można przekonać się rozwijając jakąkolwiek
całkę która w oczywisty sposób nie wyraża się przez f. ,,elementarne'' (znane Mathematice), np:

Series[Integrate[x^x Exp[-x], x], {x, 0, 3}]

Nie mam dobrego przykładu takiej całki, ale zapewne istnieją takie przypadki, które liczą się godzinami.

Mathematica 7.0.1, Windows 7 64bit, 6 GB RAM

aodrzywolek's Strona