• Skąd: IFUJ
  • Zarejestrowany: 2009-09-24
  • Posty: 8

Temat: Równanie Lane-Emdena dla n=5: co z tym dalej zrobić ?

Po wpisaniu:

DSolve[y''[x] + 2/x y'[x] + y[x]^5 == 0, y[x], x]

Mathematica generuje (po bardzo długim czasie)
niewiarygodnie skomplikowany wynik. Czy ktoś ma
pomysł co z tym dalej zrobić? Np. narysować
kilka konkretnych przypadków albo uprościć.

Mathematica 7.0.1, Windows 7 64bit, 6 GB RAM

aodrzywolek's Strona

  • Zarejestrowany: 2009-09-19
  • Posty: 44

Odp: Równanie Lane-Emdena dla n=5: co z tym dalej zrobić ?

Jak widzę problem ma później funkcja Solve. Jest podejrzenie, że Solve traktuje tu jako zespolone zmienne, które w istocie są rzeczywiste. Próbowałem użyc pakietu ReIm (z Mathematica 5.0), ale z mizernym skutkiem.  Sugerowałbym poeksperymentowac z Simplify/FullSimplify z opcjami  Element[x, Reals] ,  Element[y, Reals].

Andrzej Woszczyna's Strona

3 Odpowiedź przez pawel.biernat

  • Zarejestrowany: 2009-10-01
  • Posty: 6

Odp: Równanie Lane-Emdena dla n=5: co z tym dalej zrobić ?

Problem polega na tym, że nie istnieją wzory na ogólny pierwiastek wielomianu trzeciego stopnia, których Mathematica potrzebuje by uprościć wynik (chodzi o funkcje Root[], Wygląda na to, że odpowiednie wybranie stałych całkowania (C[1] i C[2]) mogłoby umożliwić przedstawienie rozwiązania w bardziej zwartej formie (C[1] występuje jako współczynnik wielomianu wewnątrz funkcji Root[], więc można by ją tak dobrać, by obniżyć stopień lub strywializować jeden z pierwiastków, a wtedy pozostanie do rozwiązania jedynie wielomian drugiego rzędu).

Poza tym według Wikipedii to równanie ma jawne rozwiązanie dla n=5 - http://en.wikipedia.org/wiki/Lane%E2%80 … n_equation .

4 Odpowiedź przez aodrzywolek

  • Skąd: IFUJ
  • Zarejestrowany: 2009-09-24
  • Posty: 8

Odp: Równanie Lane-Emdena dla n=5: co z tym dalej zrobić ?

Istnieja ogolne wyrazenia na rozwiazania rownania 3-go stopnia (i czwartego):

Solve[x^3 + p x^2 + q x + r == 0, x]

lub

Reduce[x^3 + p x^2 + q x + r == 0, x]
ToRadicals[%]

Rozwiazanie ogolne ktore podaje Mathematica jest o tyle problematyczne,
ze nadal nie widze nawet jak je sprawdzic, a o zastosowaniu (np. do weryfikacji dokladnosci
algorytmow numerycznych)  nawet nie wspomne....

Dla porownania, Maple daje w tym samym przypadku:

dsolve(diff(y(x), `$`(x, 2))+2*(diff(y(x), x))/x+y(x)^5);

y(x) = RootOf(ln(x)-6*Intat(1/sqrt(-12*_f^6+9*_f^2+9*_C1), _f = _Z)+2*_C2)/sqrt(x), 
y(x) = RootOf(ln(x)+6*Intat(1/sqrt(-12*_f^6+9*_f^2+9*_C1), _f = _Z)+2*_C2)/sqrt(x)

gdzie owo rownanie 3-go stopnia tez wystepuje. Wynik jest zupelnie przejrzysty.

Jest tez drugie analityczne rozw. tego rownania:
http://adsabs.harvard.edu/abs/1962ApJ...136..680S

Wyglada na to, ze malo kto o nim slyszal, bo praca ma tylko 1 cytowanie,
a byla  sciagana z ADS-u chyba po raz pierwszy (musialem przegladnac aby
ustalic liczbe stron).

Mathematica 7.0.1, Windows 7 64bit, 6 GB RAM

aodrzywolek's Strona

5 Odpowiedź przez pawel.biernat

  • Zarejestrowany: 2009-10-01
  • Posty: 6

Odp: Równanie Lane-Emdena dla n=5: co z tym dalej zrobić ?

Eksperymentowałem z podstawianiem explicite wzorów na pierwiastki za funkcję Root (używając ToRadicals), ale z marnym skutkiem. Zupełnie nie rozumiem dlaczego Mathematica nie radzi sobie z uproszczeniem tego wyrażenia.