Calculating the Einstein Tensor  with the Schwarzschild solution

Lucas Antunes dos Santos
Astrophysics and Cosmology
Faculty of Physics, Astronomy and Applied Computer Science
Jagiellonian University
Kraków 2012

Schwarzschild Metric (portuguese version)

A solução de Schwarzschild é uma solução estática para as equações de campo no vácuo e uma generalização métrica para os casos de simetria esférica em torno de um corpo de massivo sem rotação.
De acordo com a equção de Einsten, a ausência de matéria implica que o tensor Energia-momento (T^(μν)) deve ser nulo em toda região do espaço, consequentemente devemos ter (G^(μν))= 0, que nada mais é do que o Tensor de Einsten no vácuo.
A partir da métrica de Schwarzschild em coordenadas esféricas, vamos verificar que o Tensor de Einsten realmente se anula, calculando inicialmente os simbolos de Christoffel, o Tensor de Riemann, o Tensor de Ricci e o escalar de curvatura.

Coordenadas

Coordenadas esféricas são apropriadas neste caso de simetria:

X= {t,r,θ,ϕ};

Tensor Métrico  ((Subscript[g, μν]))

Segue pelo teorema de Birkhoff que a solução exterior, esfericamente simetrica no vácuo, deve ser dada pela metrica de Schwarzschild:

(ds^2)=-(1-((2mG)/r))(dt^2) +(((1-((2mG)/r)))^(-1))(dr^2) + (R^2)(((dθ)^2) + (sin^2)θ((dϕ)^2))       ,   na qual é adotado  c = 1.

Dessa forma, os componentes do tensor métrico são:

g={{-(1-((2mℊ)/r)),0,0,0},{0,(((1-((2mℊ)/r)))^(-1)),0,0},{0,0,(r^2),0},{0,0,0,(r^2) ((Sin[θ])^2)}}

g//MatrixForm

Dimensões

Delimitaremos o número de dimensões espaço-tempo de acordo com o número de elementos da matriz anterior.

dim = Length[g]

Métrica inversa  ((g^(μν)))

É util também escrever os componentes da matriz inversa de  g  para facilitar os calculos posteriores.

invg=Inverse[g]//Simplify

invg//MatrixForm

Simbolos de Christoffel

Uma vez conhecida a métrica, podemos calcular os compoentes dos simbolos de Christoffel usando a definição:

(Subscript[(Γ^λ), μν])=(1/2)(g^(λσ))((∂_μ) (Subscript[g, σν])+(∂_ν) (Subscript[g, σμ])-(∂_σ) (Subscript[g, μν]))

Ou seja, escrevendo em termos das funções do programa Mathematica, temos:

Christoffel[μ_,ν_,λ_]:=(1/2) (∑_(σ=1)^dim)invg[[λ,σ]] ((∂_(X[[μ]]))g[[σ,ν]]+(∂_(X[[ν]]))g[[σ,μ]]-(∂_(X[[σ]]))g[[μ,ν]])

Table[Christoffel[i,j,k] ,{i,1,3},{j,1,3},{k,1,3}]  //MatrixForm

Tensor de Riemann

Calculamos agora as componentes do Tensor de Riemman, utilizando os resultados anteriores:
       
(Subscript[(R^λ), μνρ])=(∂_μ) (Subscript[(Γ^λ), ρν])-(∂_ν) (Subscript[(Γ^λ), μρ])+(Subscript[(Γ^λ), νδ])(Subscript[(Γ^δ), μρ])-(Subscript[(Γ^λ), μσ])(Subscript[(Γ^σ), νρ])

Riemann[μ_,ν_,ρ_,λ_]:=(∂_(X[[μ]]))Christoffel[ρ,ν,λ] - (∂_(X[[ν]]))Christoffel[μ,ρ,λ] -(∑_(δ=1)^dim)Christoffel[ν,δ,λ] Christoffel[μ,ρ,δ]  +
(∑_(σ=1)^dim)Christoffel[μ,σ,λ]Christoffel[ν,ρ,σ]

Table[Riemann[i,j,k,l],{i,1,4},{j,1,4},{k,1,4},{l,1,4}] //Simplify;
%//MatrixForm

identidade de Bianchi

Se o resultado anterior estiver de acordo, então deve satisfazer a indetidade de Bianchi ou seja, precisamos obter:

(Subscript[(R^λ), μνρ])  +  (Subscript[(R^λ), ρμν]) + (Subscript[(R^λ), νρμ]) = 0

Table[Riemann[j,k,l,i]+Riemann[l,j,k,i]+Riemann[k,l,j,i],{i,1,4},{j,1,4},{k,1,4},{l,1,4}] //Flatten//DeleteDuplicates

Tensor de Ricci

O passo seguinte é calcular  o tensor de Ricci contraindo os indices do tensor de Riemman:

(Subscript[R, μρ])=(Subscript[(R^λ), μλρ])

Ricci[μ_,ρ_]:= Sum[Riemann[μ,σ,ρ,σ], {σ,4}]

Ri=Table[Ricci[i,j],{i,1,4},{j,1,4}] ;
%//MatrixForm

O qual pode ser escrito como um tensor misto:

(Subscript[(R^μ), ν])=(g^(μσ))(Subscript[R, σν])

RicciMix[μ_,δ_]:=(∑_(σ=1)^dim)invg[[μ,σ]] Ri[[σ,δ]]

RicciMix2=Table [RicciMix[i,j],{i,1,4},{j,1,4}] ;
%// MatrixForm

Escalar  de Curvatura

Finalmente, calcula-se o traço do tensor de Ricci para obter escalar de curvatura

R= Tr[RicciMix2]//Simplify

Tensor de Einsten

Temos agora todos os elementos necesssários para encontrar o tensor de Einsten e comfirmar a proposição inicial.

(Subscript[(G^μ), ν])=(Subscript[(R^μ), ν])-((R )/2)(Subscript[(g^μ), ν])

Gmix= RicciMix2-(( R)/2)IdentityMatrix[4]//Simplify ;
%//MatrixForm

Como esperávamos,  (Subscript[(G^μ), ν])= 0 na ausencia de matéria.