Krzywe spiralne

Patrycja Pakońska
Astronomia, II rok, studia pierwszego stopnia
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński
Kraków 2011
Mathematica 7.0

Wprowadzenie

W matematyce spiralne są krzywymi, które wychodzą z punktu, stopniowo się od niego oddalają, równocześnie skręcając (nawijając lub rozwijając się wokół bieguna). Z takimi krzywymi spotykamy się w wielu przypadkach w otaczającej nas przyrodzie, takich jak: trajektoria po jakiej owady poruszają się do źródła światła, ramiona galaktyk spiralnych, struktury biologiczne np. muszle mięczaków itp.

Spiralna Archimedesa

Określenie mechaniczne

Spiralną Archimedesa nazywamy krzywą, która opisuje punkt płaszczyzny M, oddalający się od bieguna po promieniu ruchem jednostajnym, gdy jednocześnie promień obraca się wokół bieguna ze stałą prędkością kątową ω. Długość odcinka łaczącego biegun i punkt M jest proporcjonalna do kąta nachylenia θ względem półosi biegunowej: r = a θ, gdzie a = r/ω. Współczynnik proporcjonalności a nazywamy parametrem spiralnej Archimedesa [1].

Określenie geometryczne

Równaniu biegunowemu spiralnej Archimedesa r = a θ we współrzednych kartezjańskich odpowiada równanie prostej y = a x. Dlatego też jest to spiralna prosta algebraiczna pierwszego rzędu. Spiralną Archimedesa można otrzymać również za pomocą  rzutu prostokątnego na płaszczyznę Oxy krzywej bądącej przecięciem powierzchni śrubowej z = k arctg((y/x)) z powierzchnią stożka obrotowego (z^2) = (x^2)/(a^2)+(y^2)/(a^2) [2].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{a θ Sin[θ],a θ Cos[θ]},{θ,0,6π},PlotRange->{-30.0,30.0},Background->LightGreen],{{a,0.5,"Parametr a"},0.5,1.6}]

Właściwości spiralnej Archimedesa

Odległość między kolejnymi zwojami krzywej jest wielkością stałą i wynosi: d = a (θ + 2 π) – a θ = 2πa. Ciekawostką historyczną jest, że Archimedes podał sposób wykreślania stycznej do krzywej oraz pokazał, że może być ona użyta do ,,rozwiązania'' zagadnienia kwadratury koła. Spiralna ta była znana dużo wcześniej, a dowodem na to jest między innymi pismo na dysku z Fajstos (pochodzącego z kreteńskiego okresu kultury minojskiej), które jest rozmieszczone wzdłuż spiralnej Archimedesa.

Zastosowania

Spiralna Archimedesa znalazła liczne zastosowania. Między innymi w:
	– konstrukcji rowka płyty gramofonowej,
	– profilowaniu krzywek w różnego rodzaju urządzeniach.

Epicykloida

Określenie mechaniczne

Wyobraźmy sobie nieruchomy okrąg o zadanym promieniu R zwany okręgiem podstawowym. Stycznie do niego ustawiamy drugi okrąg o promieniu r, który toczy się bez poślizgu wzdłuż okręgu o promieniu R po jego zewnętrznej stronie. Epicykloidę tworzy trajektoria punktu należącego do toczącego okręgu o promieniu r [1, 3].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{{R Cos[t],R Sin[t]},{(R+r) Cos[t]-r Cos[((R+r)/r)t],(R+r)Sin[t]-r Sin[((R+r)/r)t]}},{t,0,2π} ,PlotRange->{-30.0,30.0}],{R,10,30},{r,1,3}]

Zastosowanie

Krzywa ta jest powszechnie stosowana jako zarys zębów kół zębatych [1].

Hipocykloida

Określenie mechaniczne

Wyobraźmy sobie okrąg o zadanym promieniu R nazywany podstawowym. Stycznie do niego ustawiamy drugi okrag o promieniu r, który toczy się wzdłuż okręgu podstawowego po jego wewnętrznej stronie. Hipocykloidę tworzy trajektoria punktu należącego do toczącego się okręgu o promieniu r [1,4].

Ilustracja

Manipulate[ParametricPlot[{{R Cos[t], R  Sin[t]},{(R-r) Cos[t]-r Cos[((R-r)/r)t],(R-r)Sin[t]-r Sin[((R-r)/r)t]}},{t,0,2π},PlotRange->{-30.0,30.0}],{R,10,30},{r,1,3}]

Właściwości

Dla stosunku R/r = 4 otrzymujemy krzywą nazywaną asteroidą. Kiedy R = 2r hipocykloida redukuje się do średnicy okręgu bazowego.

Zastosowanie

Hipocykloida stosowana jest podobnie jak epicykloida w konstrukcji kół zębatych [1].

Rozwijająca okręgu (ewolwenta okręgu)

Określenie mechaniczne

Na okręgu zaczepiona jest półprosta. Ewolwentę okręgu tworzy zbiór płaski punktów M. Początek półprostej porusza się po okręgu, natomiast punkt M oddala się od okręgu wzdłuż tej półprostej.

Animacja

Manipulate[ParametricPlot[{a(Cos[t]+t Sin[t]),a(Sin[t]-t Cos[t])},{t,0,10},PlotRange->{-30.0,30.0},Background->LightYellow],{{a,1,"Parametr a"},1,3}]

Właściwości

Wszystkie zwoje tej krzywej mają stały skok w kierunku przemieszczenia.

Zastosowanie

W konstrukcji kół zębatych o tzw. ewolwentowym zazębieniu; jest to rodzaj kół zębatych jakościowo gorszych od kół o cykloidalnym zazębieniu, ale jest łatwiejszy w wykonaniu, stąd jego szerokie zastosowanie w mechanice.

W konstrukcji uchwytów o podwyższonej dokładności środkowania; dzięki temu, że wszystkie zwoje ewolwety okręgu mają stały skok w kierunku przemieszczenia się szczęki. Krzywa ta spełnia liczne mechaniczne wymagania dla tego rodzaju uchwytów, gdyż zapewnia równomierny ruch postępowy wszystkich szczęk zazębiających się z tarczą zębatą, kontakt z wszystkimi zębami szczęki oraz równomierne rozmieszczenie roboczych nacisków między zębami.

Spiralna hiperboliczna

Określenie mechaniczne

Spiralną hiperboliczną nazywamy zbiór płaski punktów M, takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M porusza się wzdłuż promienia w ten sposób, że długość odcinka łączącego biegun i punkt M jest odwrotnie proporcjonalna do amplitudy θ promienia [1].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{((a  Sin[θ])/θ),((a  Cos[θ])/θ)},{θ,0.01,6π},PlotRange->{-5.0,10.0},Background->LightOrange],{a,1,10}]

Właściwości

Spiralna hiperboliczna jest spiralną drugiego rzędu, ponieważ równanie biegunowe r=(a/θ) (gdzie a nazywamy parametrem spiralnej hiperbolicznej),odpowiada równaniu we współrzędnych kartezjańskich y=(a/x),które przedstawia hiperbolę. Krzywa posiada asymptotę o równaniu: r = (a/(Sin[θ]))równoległą do półosi biegunowej.

Krzywa składa się z dwóch gałęzi, z których jedna zwija się w zwrocie dodatnim dla dodatnich wartości θ, a druga zwija sie w zwrocie ujemnym dla ujemnych wartości θ. Obie gałęzie przedstawia poniższy rysunek.

Manipulate[PolarPlot[{a θ Sin[θ],a θ Cos[θ]},{θ,-6π,6π},ColorFunction-> Function [{x,y},If[θ>0,Blue,Red]],ColorFunctionScaling-> False,PlotStyle -> Thick,Background->LightBlue] ,{a,1,10}]

Spiralna Galileusza

Określenie mechaniczne

Spiralną Galileusza nazywamy zbiór płaski punktów M(r,θ), takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M(r,θ) porusza się wzdłuż promienia w ten sposób, że długość odcinka łączącego biegun i punkt M jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy θ promienia [1].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{a (θ^2)Cos[θ],a (θ^2)Sin[θ]},{θ,0,6π},PlotRange->{-600.0,600.0},Background->LightPurple],{a,-2,3}]

Spiralna r = a/(θ^2)

Określenie mechaniczne

Spiralną r=(a/θ) nazywamy zbiór płaski punktów M(r,θ) takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M(r,θ) porusza się wzdłuż promienia w ten sposób, że długość odcinka łaczącego biegun i punkt M jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu amplitudy θ promienia [1].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{a/(θ^2)Cos[θ],a/ θ^2Sin[θ]},{θ,0.5,6π},PlotRange->{-2.0,2.0},Background->LightMagenta],{a,1,25}]

Właściwości

Krzywa składa się z dwóch gałęzi, które kształtem przypominają parabole. Jak widać na poniższym obrazku punkt początkowy układu współrzędnych jest podwójnym punktem asymptotycznym krzywej.

Manipulate[PolarPlot[{(a/(θ^2))Sin[θ],((a )/(θ^2)) Cos[θ]},{θ,-3π,3π},ColorFunction-> Function [{x,y},If[θ>0,Blue,Green]],ColorFunctionScaling-> False,PlotStyle -> Thick,Background->LightGreen] ,{a,1,2}]

Spiralna Fermata (paraboliczna)

Określenie mechaniczne

Spiralną paraboliczną nazywamy zbiór płaski punktów M (r, θ) takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M (r, θ) porusza się wzdłuż promienia w ten sposób, że kwadrat długości odcinka łączącego biegun i punkt M jest proporcjonalny do amplitudy θ promienia [1].

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{a (Sqrt[θ])Cos[θ],a (Sqrt[θ ])Sin[θ]},{θ,0.5,6π},PlotRange->{-25.0,25.0},Background->LightYellow],{a,1,5}]

Właściwości

Krzywa składa się z dwóch gałęzi. Jedna odpowiada wartościom dodatnim parametru a, druga wartościom ujemnym.

Manipulate[PolarPlot[{a (Sqrt[θ])Cos[θ],a (Sqrt[θ ])Sin[θ]},{θ,-2π,2π},ColorFunction-> Function [{x,y},If[θ>0,Blue,Red]],ColorFunctionScaling-> False,PlotStyle -> Thick,Background->LightGreen] ,{a,1,10}]

Odległość między zwojami krzywej wynosi d =|a|((Sqrt[θ+2π])-(Sqrt[θ])). Dla rosnących wartości θ odległości d maleją.

Buława

Określenie mechaniczne

Spiralną r=(a/(Sqrt[θ]))nazywamy zbiór płaski punktów M(r,θ), takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M (r,θ)porusza się wzdłuż promienia w ten sposób, że kwadrat długości odcinka łączącego biegun i punkt M jest odwrotnie proporcjonalny do amplitudy θ promienia [1].

Określenie geometryczne

Krzywą zwaną buławą otrzymujemy z przekształcenia przez promienie odwrotne spiralnej Fermata. Przekształcenie przez promienie odwrotne to przekształcenie punktu (Subscript[P, 1]) na punkt (Subscript[P, 2]) w natępujący sposób: mówimy, że są one symetryczne względem okręgu danego wzorem: (x^2)+(y^2)=(r^2), gdzie r > 0 oraz punkt (Subscript[P, 1]) ≠ (0,0). Punkty są symetryczne względem danego okręgu, gdy spełniają warunek: iloczyn długości odcinków łączących początek układu współrzędnych i punkt (Subscript[P, 1]) oraz (Subscript[P, 2]) jest równy (r^2) (O(Subscript[P, 1])*O(Subscript[P, 2]) = (r^2)) oraz, że punkt (Subscript[P, 2]) leży na półprostej (Subscript[OP, 1]).

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{((a Cos[θ])/(Sqrt[θ])),((a Sin[θ])/(Sqrt[θ]))},{θ,0.5,6π},PlotRange->{-30.0,30.0},Background->LightBlue],{a,1,40}]

Spiralna logarytmiczna

Określenie mechaniczne

Spiralną logarytmiczną nazywamy zbiór płaski punktów M (r, θ) takich że: promień obraca się ruchem jednostajnym wokół bieguna, natomiast punkt M (r, θ) porusza się  w ten sposób, że logarytm (gdy podstawa logarytmu a > 1) długości odcinka łączącego biegun i punkt M jest proporcjonalny do amplitudy θ promienia [1].

Określenie geometryczne

Spiralna logarytmiczna nie należy do zbioru spiralnych algebraicznych, tzn. że równania krzywej w układzie kartezjańskim nie można przedstawić w postaci wielomianu zmiennych x i y przyrównanego do zera.

Rysunek

Manipulate[ParametricPlot[{(a^(k θ))  Sin[θ],((a )^(k θ))Cos[θ]},{θ,0,6π},PlotRange->{-1.0,1.0},Background->LightOrange],{a,0.005,1.2},{k,1.5,3.5}]

Właściwości [1]

Spiralna logarytmiczna przecina promień biegunowy pod stałym kątem δ = ArcTan[k Log[a]].

Stosunek pochodnej wartości promienia r względem kąta ϕ do promienia jest stały i równy współczynnikowi w wykładniku  b=(((∂_ϕ) r(ϕ))/(r(ϕ))).

Wyruszając z dowolnego punktu P spirali i idąc po niej można okrążyć biegun dowolną liczbę razy nie dochodząc do niego. Jednak droga,którą przemierzyć trzeba od tego punktu do bieguna,jest skończona. Droga ta wynosi:(r/(Cos[ϕ])), gdzie r to odległość (po linii prostej) punktu P od bieguna. Tą własność jako pierwszy zauważył Evangelista Torricelli.

Ciekawostką jest, że spiralną logarytmiczną często spotkamy w przyrodzie; np. struktury biologiczne takie jak muszle mięczaków oraz ramiona tropikalnych cyklonów (huraganów) [5].

Literatura

[1] Eugeniusz Niczyporowicz, Krzywe płaskie, PWN, Warszawa 1991.

[2] Strona internetowa: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral

[3] Strona internetowa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Epicykloida

[4] Strona internetowa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipocykloida

[5]Strona internetowa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Spirala_logarytmiczna