Pole elektrostatyczne ładunków punktowych

Aneta Kiszło
Zaawansowane materiały i nanotechnologia, II rok, studia I stopnia
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński
Kraków 2011
Mathematica 7.0

Wstęp teoretyczny

Prawo Coulomba

Siła oddziaływnia pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi (Subscript[q, 1]) i (Subscript[q, 2])  odległymi od siebie o r w próżni wyraża się wzorem [1]:

F=(1/(4π (Subscript[ϵ, 0]))) (((Subscript[q, 1 ])(Subscript[q, 2]))/(r^2))(r/r),

z jednostką

[F]=[N],

gdzie (Subscript[ϵ, 0]) to przenikalność elektryczna próżni.

Natężenie pola

Natężenie pola elektrostatycznego równe jest sile działającej na ładunek próbny. Można go przedstawić za pomocą wzoru  [1]:

E=(F/q)=(1/(4π (Subscript[ϵ, 0]))) (Q/(r^2))(r/r),

z jednostką

[E]=[(N/C)],

gdzie Q to ładunek będący źródłem pola.

Potencjał elektrostatyczny

Potencjał elektrostatyczny od pojedynczego ładunku punktowego wyraża się wzorem  [1]:

(Subscript[V, p])(r)=(1/(4π (Subscript[ϵ, 0])))(Q/r),

[(Subscript[V, p])]=[V]

gdzie:
	(Subscript[V, p])(r) –  potencjał elektrostatyczny
	Q – wartość ładunku
	r – odległość od ładunku
	ϵ – przenikalność elektryczna ośrodka

Potencjał jest wielkością skalarną, związaną z natężeniem pola następującą zależnością:

E = – grad V(r)

Zasada superpozycji

Wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez kilka ładunków punktowych równe jest sumie wektorowej natężeń wytworzonych przez każdy z ładunków z osobna [2]

E = (Subscript[E, 1]) + (Subscript[E, 2])+(Subscript[E, 3])+....

Potencjał od kilku ładunków punktowych jest sumą algebraiczną potencjałów składowych ładunków punktowych (zasada superpozycji).

V(r)=(1/(4π (Subscript[ϵ, 0])))(((Subscript[Q, 1])/(Subscript[r, 1]))+((Subscript[Q, 2])/(Subscript[r, 2]))+((Subscript[Q, 3])/(Subscript[r, 3]))+...).

Linie sił pola elektrostatycznego to linie styczne do wektorów siły działającej na ładunek znajdujący się w tym polu.

Kod programu

Celem realizowanym za pomocą poniższego programu jest stworzenie wizualizacji pola elektrycznego od kilku ładunków punktowych: powierzchni ekwipotencjalnych i wektorów natężenia pola elektrostatycznego.

Kod programu

Clear["Global`*"]; (*Wyczyszczenie zmiennych z pamięci.*)
(*Funkcja rysująca powierzchnie ekwipotencjalne.*)
potential[{{x1_,y1_},{x2_,y2_},{x3_,y3_}},{q1_,q2_,q3_}]:=ContourPlot[q1/Sqrt[(x-x1)^2+(y-y1)^2]+q2/Sqrt[(x-x2)^2+(y-y2)^2]+q3/Sqrt[(x-x3)^2+(y-y3)^2],{x,-5,5},{y,-5,5},Contours->10];
(*Funkcja rysująca linie sił pola.*)
pole[{{x1_,y1_},{x2_,y2_},{x3_,y3_}},{q1_,q2_,q3_},p_]:=
(*Warunek pozwalający na włączenie/wyłączenie opcji.*)If[p,VectorPlot[{-((q1 (x-x1))/((((((x-x1))^2)+(((y-y1))^2)))^(3/2)))-((q2 (x-x2))/((((((x-x2))^2)+(((y-y2))^2)))^(3/2)))-((q3 (x-x3))/((((((x-x3))^2)+(((y-y3))^2)))^(3/2))),-((q1 (y-y1))/((((((x-x1))^2)+(((y-y1))^2)))^(3/2)))-((q2 (y-y2))/((((((x-x2))^2)+(((y-y2))^2)))^(3/2)))-((q3 (y-y3))/((((((x-x3))^2)+(((y-y3))^2)))^(3/2)))},{x,-5,5},{y,-5,5},VectorPoints->20,VectorScale->{Large,0.5}],Graphics[]];
(*Tworzenie etykiet dla ładunków w rysunku.*)
podpis[{{x1_,y1_},{x2_,y2_},{x3_,y3_}},p_]:=If[p,Graphics[{Text[Style["Q1",Large,Red],{x1,y1}],Text[Style["Q2",Black,Large,Large,Red],{x2,y2}],Text[Style["Q3",Black,Large,Large,Red],{x3,y3}]}],Graphics[]];
(*Tworzenie wizualizacji poprzez Manipulate.*)
wizualizacja=Manipulate[Show[potential[{xy1,xy2,xy3},{Q1,Q2,Q3}],pole[{xy1,xy2,xy3},{Q1,Q2,Q3},liniepola],podpis[{xy1,xy2,xy3},podpisy]],
Delimiter,
(*Wskazniki odpowiedzialne za przekazanie współrzędnych ładunków.*)
{{xy1,{ 2,2}},Locator},
{{xy2,{-3,-2}},Locator},
{{xy3,{2,3}},Locator},
(*Suwaki manipulujące wartościami ładunków.*)
{{Q1,7},-10,10},
{{Q2,-4},-10,10},
{{Q3,-1},-10,10},
Delimiter,
(*Przyciski losujące wartość oraz położenie poszczególnych ładunków.*)
Button["Losuj Q1",{xy1={Random[Real,{-5,5}],Random[Real,{-5,5}]},q1=Random[Real,{-10,10}]}],
Button["Losuj Q2",{xy2={Random[Real,{-5,5}],Random[Real,{-5,5}]},q2=Random[Real,{-10,10}]}],
Button["Losuj Q3",{xy3={Random[Real,{-5,5}],Random[Real,{-5,5}]},q3=Random[Real,{-10,10}]}],
Delimiter,
(*Przyciski redukujące liczbę ładunków.*)
Button["Pojedynczy ładunek",{xy1={ 0,0},xy2={10^99,10^99},xy3={10^99,10^99},q1=5,q2=0,q3=0}],
Button["Dwa ładunki",{xy1={ 0,-2.5},xy2={0,2.5},xy3={10^99,10^99},q1=5,q2=-5,q3=0}],
Button["Trzy ładunki",{xy1={ 2.5,2.5},xy2={-3.5,-2},xy3={2,-3},q1=7,q2=-4,q3=-1}],
Delimiter,
(*Przyciski wlączające/wyłączające linie sil pola oraz etykiety przy ładunkach.*)
{liniepola,{True,False}},
{podpisy,{True,False}},
ControlPlacement->{Right}
];

Wizualizacja

Wizualizacja przedstawia potencjał oraz natężenie pola od kilku (1–3) ładunków w próżni. Pozwala ona ustalić wartości dla każdego z trzech ładunków za pomocą suwaków oraz ich lokalizację poprzez przeciągnięcie znaczników. Dostępna jest również funkcja losowania położenia i wartości każdego ładunku z osobna w sekcji drugiej i możliwość rozważenia mniejszej liczby ładunków za pomocą przycisków sekcji trzeciej. Sekcja czwarta pozwala włączyć/wyłączyć linie sił pola oraz oznaczenia ładunków.

wizualizacja

Literatura

[1]  David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005

[2] Strona internetowa: http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field