Dyfrakcja i interferencja światła monochromatycznego na szczelinach
(Projekt zaliczeniowy z kursu Mathematica I: kurs wstępny)

Przemysław Rodzoń
Zaawansowane materiały i nanotechnologia, rok II
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński
Kraków 2010
przemysław.rodzon@uj.edu.pl

Interferencja światła

Wstęp

Thomas Young jako pierwszy wykonał doświadczenie, w którym można zaobserwować interferencję ((światła)^((1))), a co za tym idzie udowodnić jego falową naturę. Interferencja fal znana była już znacznie wcześniej.

Interferencja nie jest tylko ładnie wyglądającym efektem. Znalazła ona wiele praktycznych zastosowań. Pozwala między innymi bardzo dokładnie wyznaczyć długość fali generowanej przez laser. Przez długi czas definicja metra oparta była na długości fali świetlnej, zaś do zdefiniowania tej długości korzystano ze zjawiska (interferencji^((3))).

Jest to zjawisko znane bardzo dobrze. Można je łatwo zaobserwować nie tylko dla światła, ale także dla fal radiowych, czy mikrofal. Zjawisko interferencji opiera się w dużym stopniu o zasadę superpozycji. Aby można było zaobserwować interferencję światła w modelu Younga, ich źródła muszą spełniać następujące (warunki^((1))):
– muszą być w jednej płaszczyźnie,
– muszą być punktowe,
– muszą dawać światło o tej samej amplitudzie, długości i fazie początkowej.

Poniższy rysunek przedstawia opisany idealny przypadek interferencji. Punkty obrazują źródła światła, zaś linie – czoła fali. W miejscach, gdzie się przecinają następuje wzmocnienie.

Graphics[{PointSize[Large],Point[{{0,1.2},{0,0.8}}],AbsoluteThickness[1],Table[Circle[{0,0.8},q,{-Pi/3,Pi/3}],{q,0,2,0.25}],Table[Circle[{0,1.2},q,{-Pi/3,Pi/3}],{q,0,2,0.25}]},AxesOrigin->{0,1},ImageSize->Medium]

Wzory

Do obliczeń posłuży nam następujący, prosty model przedstawiony na poniższym rysunku. Zaznaczono odległości D, r, R, δr, kąt θ, a także punkty Z, z (źródła), Po (prążek zerowego rzędu) i P (dowolny punkt na ekranie).

Graphics[{Text[D,{0.5,-0.03}],Text["a",{-0.02,0}],Text["r",{0.5,0.08}],Text["R",{0.4,0.2}],Text["δr",{0.05,-0.1}],Text["z",{0.01,-0.12}],Text["Z",{0.01,0.12}],Text["θ",{0.035,0.075}],Text["θ",{0.12,0.02}],Text["P",{0.985,0.32}],Text["Po",{0.985,0.02}],Point[{0.072,-0.06}],PointSize[Large],AbsoluteThickness[1.8],Line[{{1,-0.15},{1,0.35}}],Point[{{0,0.1},{0,-0.1},{1,0.3},{1,0}}],AbsoluteThickness[1],Arrow[{{0,0.1},{1,0.3}}],Arrow[{{0,-0.1},{1,0.3}}],Circle[{0.085,-0.065},0.025,{110Pi/180,205Pi/180}],Circle[{0,0.1},0.05,{270Pi/180,298Pi/180}],Circle[{0,0},0.1,{0,17Pi/180}],Dashed,Line[{{{0,0},{1,0}},{{0,0},{1,0.3}},{{0,-0.1},{0,0.1}},{{0,0.1},{0.085,-0.065}}}]},ImageSize->Large]

Aby w punkcie P zaszło wzmocnienie, musi zostać spełniony (warunek^((1))):

δr = n λ

Łatwo jednak zauważyć, że:

δr = a Sin[θ]

W takim razie warunek można zapisać jako:

Sin[θ]=((n λ)/a)

Analogicznie można zapisać warunek dla wygaszenia (fali^((1))):

Sin[θ]=(((n+(1/2)) λ)/a)

Dla niewielkich kątów (co jest często równoważne dużej odległości D) stosuje się zazwyczaj tzw. przybliżenie małych kątów. Jednak mając do dyspozycji narzędzie takie jak Mathematica nie jest potrzebne uciekanie się do przybliżonych rozwiązań. Wszystkie uzyskane wyniki będą ścisłe.

Dobrze znany jest także wzór, który określa natężenie światła na (ekranie^((2))):

Ip=Io(((((Sin[((m π a)/λ)Sin[θ]])/(Sin[((π a)/λ)Sin[θ]]))))^2)

Symulacja

Znamy już potrzebne wzory, a także konstrukcję geometryczną. Możemy więc przejść do prezentacji. Poniższy wykres przedstawia rozkład natężenia światła na ekranie w funkcji kąta θ (od -(π/2)do (π/2)). Natężenie światła w jednostkach umownych.

Manipulate[Plot[(((Sin[((m*π*a*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2)/((Sin[((π*a*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2)),{θ,-π/2,π/2},AxesLabel->{"Kąt θ","Natężenie światła na ekranie"},AxesOrigin->{0,0},ImageSize->Large,Filling->Bottom,PlotRange->{0,All}],{{m,2,"Ilość źródeł światła - m"},2,10,1},{{λ,700,"Długość fali - λ [nm]"},400,700},{{a,1,"Odległość między źródłami - a [µm]"},1,5}]

Można zauważyć jak zmienia się natężenie światła w zależności od różnych parametrów:
– im większy kąt, tym szersze piki. Jest tak, ponieważ wiązki światła padają pod niezerowym kątem i efektywnie na ekranie widać je jako szersze prążki,
– im mniejsza długość fali lub większa odległość między źródłami tym prążki stają się węższe i liczniejsze. Nikogo nie powinno to dziwić, gdyż odzwierciedla to czynnik (a/λ)w równaniu,
– najciekawszy efekt otrzymujemy, gdy zwiększamy liczbę źródeł światła. Oprócz oczywistego zwiększenia amplitud można zaobserwować interesujący efekt. Chodzi o pojawianie się lokalnych, mniejszych maksimów w liczbie m – 2 pomiędzy maksimami głównymi.

Dyfrakcja światła na szczelinie

Wstęp teoretyczny

Zjawisko dyfrakcji znane było już w XVII wieku, dzięki Francesco Maria (Grimaldiemu^((1))). Do jego dokładnego zbadania szczególnie przyczynili się później Joseph von Fraunhofer oraz Augustin Jean Fresnel (na przełomie XVIII i XIX ((wieku))^((4))).

Również dyfrakcja ma swoje zalety technologiczne. Jej znajomość pozwoliła na rozwój krystalografii rentgenowskiej, dzięki której z kolei odkryto budowę DNA. Również wykorzystując zjawisko dyfrakcji dla fal rentgenowskich możliwe jest badanie wszelkich innych struktur (krystalograficznych^((4))).

Dyfrakcja światła to zjawisko, które polega na uginaniu się fali na (obiektach^((1))), tak, że dociera ona do obszarów znajdujących się w cieniu przeszkody. Zasada Huygensa mówi, że każdy punkt, do którego dotrze fala, można traktować jako nowe źródło fali kulistej. Ugięcie fali następuje na wszystkich przeszkodach (o czym świadczą choćby nieostre granice cieni), ale najlepiej obserwować to zjawisko przepuszczając falę przez cienką szczelinę o szerokości porównywalnej z długością fali.

Poniższy rysunek ilustruje ugięcie fali na takiej szczelinie:

Graphics[{AbsoluteThickness[7],Line[{{1,1.25},{1,1.1}}],Line[{{1,0.9},{1,0.75}}],AbsoluteThickness[1],Arrow[{{0,1.06},{1,1.06},{2,1.2}}],Arrow[{{0,1.03},{1,1.03},{2,1.1}}],Arrow[{{0,1},{1,1},{2,1}}],Arrow[{{0,0.97},{1,0.97},{2,0.9}}],Arrow[{{0,0.94},{1,0.94},{2,0.8}}]},AxesOrigin->{1,1},ImageSize->Large]

Jak widać, padająca na szczelinę fala płaska zamienia się w falę kulistą. W granicznym przypadku, gdy w szczelinie "jest miejsce" tylko na jedno źródło fali kulistej, nie obserwujemy żadnych efektów. Natomiast, jeśli szczelina jest szersza, to możemy obserwować na ekranie efekty dyfrakcyjne.

Wzory

Do przedstawienia konstrukcji geometrycznej zastosuję podobny rysunek, jak w przypadku zjawiska interferencji:

Graphics[{Text[D,{0.5,-0.03}],Text["(d/2)",{-0.02,0.1}],Text["r",{0.4,0.13}],Text["R",{0.4,0.26}],Text["δr",{0.025,0.02}],Text["Z2",{0.02,-0.02}],Text["Z1",{0.02,0.22}],Text["θ",{0.035,0.17}],Text["θ",{0.12,0.02}],Text["P",{0.985,0.32}],Text["Po",{0.985,0.02}],Point[{0.06,0.03}],PointSize[Large],AbsoluteThickness[1.8],Line[{{0,0.2},{0,0.35}}],Line[{{1,-0.25},{1,0.35}}],Line[{{0,-0.25},{0,-0.2}}],Point[{{0,0.2},{0,0},{1,0.3},{1,0}}],AbsoluteThickness[1],Arrow[{{0,0.2},{1,0.3}}],Arrow[{{0,0},{1,0.3}}],Circle[{0.075,0.022},0.025,{110Pi/180,205Pi/180}],Circle[{0,0.2},0.05,{270Pi/180,294Pi/180}],Circle[{0,0},0.1,{0,17Pi/180}],Dashed,Line[{{{0,0},{1,0}},{{0,0.1},{1,0.3}},{{0,0.2},{0,-0.2}},{{0,0.2},{0.075,0.022}}}]},ImageSize->Large]

Aby w punkcie P zaszło wygaszenie, musi zostać spełniony (warunek^((1))):

(1/2)m λ=(1/2)a Sin[θ]

Wyjątkiem od tego jest prążek zerowy, gdzie występuje największe maksimum. Pozostałe maksima dyfrakcyjne występują mniej więcej w połowie między (minimami^((1))). Również dla dyfrakcji nie będziemy stosować żadnych przybliżeń.

Wzór określający natężenie światła na ekranie dla zjawiska dyfrakcji przedstawia się ((następująco)^((2))):

Ip=Io(((((Sin[((π d)/λ)Sin[θ]])/(((π d)/λ)Sin[θ]))))^2)

Symulacja

Skoro mamy podstawy teoretyczne, to możemy przejść do właściwej symulacji:

Manipulate[Plot[(((Sin[((π*d*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2)/((((((π*d*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))))^2)((Sin[θ])^2))),{θ,-π/2,π/2},AxesLabel->{"Kąt θ","Natężenie światła na ekranie"},AxesOrigin->{0,0},ImageSize->Large,Filling->Bottom,PlotRange->{0,All}],{{λ,700,"Długość fali - λ [nm]"},700,400},{{d,1,"Szerokość szczeliny - d [µm]"},1,4}]

Dyfrakcja i interferencja światła na układzie szczelin

Ponieważ niemożliwe jest uzyskanie idealnie punktowego źródła światła, zazwyczaj badając interferencję stosuje się jako ich zamienniki szczeliny (tak jak to w swoim doświadczeniu zrobił Young). Wówczas efekty interferencyjne i dyfrakcyjne nakładają się na siebie. Otrzymane na ekranie obrazy są zadziwiająco interesujące.

Manipulate[Plot[(((Sin[((m*π*a*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2)/((Sin[((π*a*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2))*(((Sin[((π*d*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))Sin[θ]])^2)/((((((π*d*(10^(-6)))/(λ*(10^(-9))))))^2)((Sin[θ])^2))),{θ,-π/2,π/2},AxesLabel->{"Kąt θ","Natężenie światła na ekranie"},AxesOrigin->{0,0},ImageSize->Large,Filling->Bottom,PlotRange->{0,All}],{{m,2,"Ilość źródeł światła - m"},2,10,1},{{λ,700,"Długość fali - λ [nm]"},700,400},{{a,1,"Odległość między źródłami - a [µm]"},1,5},{{d,1,"Szerokość szczeliny - d [µm]"},0.5,1}]

Literatura

(1) Fizyka, tom II - D. Halliday, R. Resnick, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999, rozdziały 45 i 46,
(2) http://www.if.p.lodz.pl/download/docs/student/pfw/417.pdf.
(3) http://pl.wikipedia.org/wiki/Interferencja,
(4) http://pl.wikipedia.org/wiki/Dyfrakcja,