Granice ciągów

Zadania

Clear["Global`*"]

Wyznaczyć granice ciągów:
	{(n^(1/n)),(((1+(1/n)))^n),(Sqrt[n+1])-(Sqrt[n]),1-n,((cos(n)-n)/(n+sin(n)))}

ciagi01={(n^(1/n)),(((1+(1/n)))^n),(Sqrt[n+1])-(Sqrt[n]),1-n,((Cos[n]-n)/(Sin[n]+n))};
Limit[ciagi01,n->Infinity]

Limit[Sin[n],n->Infinity]

Komentarz:
	W przypadku, gdy granica ciągu nie istnieje to wówczas zostanie podany zakres wartości ciągu.

Zadanie 142. (Demidowicz 1977)
	Wykazać, że
	(lim_(n->∞)) ((n/(((n!))^(1/n))))=e

Limit[n/n!^(1/n), n -> Infinity](* InputForm *)

Limit[(n/(((n!))^(1/n))),n->∞] (* StandardForm *)

(lim_(n->∞)) (n/(((n!))^(1/n))) (* TraditionalForm *)

Zadanie 56. (Demidowicz 1977)
	Wyznaczyć granicę:
	(lim_(n->∞)) ((∑_(i=1)^n)(1/(i(i+1)))).

Limit[(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1))),n->∞]

Zadanie 57. (Demidowicz 1977)
	Wyznaczyć granicę:
	(lim_(n->∞)) (∏_(i=1)^n)(2^(1/(2^i))).

Limit[(∏_(i=1)^n)(2^(1/(2^i))),n->∞]

Zadanie 145a. (Demidowicz 1977)
	Wykazać, że jeśli p jest liczbą naturalną to
	(lim_(n->∞)) (1/(n^(p+1)))(∑_(i=1)^n)(i^p)=(1/(1+p)).

Table[ Limit[(1/(n^(p+1)))(∑_(i=1)^n)(i^p),n->Infinity],{p,1,10,1}]

Wyzanczyć granicę ilorazu liczb ciągu Fibonacciego
	(lim_(k->∞)) ((Subscript[F, k+1])/(Subscript[F, k])).

Limit[Fibonacci[k+1]/Fibonacci[k],k->Infinity]//FullSimplify

Literatura

[1]Demidowicz B.P. Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej  Nauka, Moswa 1977

Z cyklu:   Proste zadania do nauki algebry komputerowej

Zdzisław A. Golda
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński