Funkcje Bessela

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Grafika

Clear["Global`*"]
(* Maksymalny rząd funkcji Bessela pierwszego rodzaju *)
nmax=10;
(* Skala rysunku *)
size=7;
Manipulate[Column[{StyleForm["Funkcje Bessela pierwszego rodzaju (Subscript[J, n])(x)",FontFamily->"Times",FontSize->18,FontWeight->"Bold",Black],BesselJ[n,x]//Expand,Plot[BesselJ[n,x],{x,0,20},ImageSize -> size 72,AspectRatio -> 1,PlotRange->{-1/2,1},PlotStyle->{{Thickness[0.007],Brown}},Frame->ramka,FrameStyle->Directive[12],AxesStyle->Directive[Blue,12],AxesLabel->{Style[x,FontWeight->"Bold",FontSize->14
],Style[BesselJ[n,x],FontWeight->"Bold",FontSize->14]},Background->Yellow]},Center,Background->{White,Yellow,Yellow},Frame->{None,True,True},ItemStyle->{2->{Bold,Blue}}],{{ n,0, "rząd n"},0,nmax,1},{ramka,{True,False}}]

Równanie różniczkowe Bessela, rozwinięcie (Subscript[J, n])(x) w szereg Taylora, tożsamości

Funkcje Bessela (funkcje walcowe) n-tego rzędu pierwszego rodzaju (Subscript[J, n])(x) [1] dla n = 0,1,2,... spełniaja równanie różniczkowe Bessela

((x^2)(∂_(x,x)) + x (∂_x) + ((x^2)– (n^2)))(Subscript[J, n])(x)=0

rownBessela=(x^2)(∂_(x,x))#+x(∂_x)#+((x^2)-(n^2))#&;
rownBessela[BesselJ[n,x]]==0//FullSimplify

Rozwinięcie w szereg Taylora wokół punktu x = 0 funkcji Bessela pierwszego rodzaju (Subscript[J, n])(x)

szeregTB=Series[BesselJ[n,x],{x,0,4}]//Simplify

rownBessela[szeregTB]//Simplify

Rozwinięcie sprawdza równanie różniczkowe.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju spełniają szereg tożsamości. Poniżej sprawdzenie kilku z nich.

tozsamoscBessela01=(∂_x)BesselJ[n,x]==BesselJ[n-1,x]-(n/x)BesselJ[n,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela02=(∂_x)BesselJ[n,x]==BesselJ[n-1,x]-(n/x)BesselJ[n,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela03=(∂_x)BesselJ[n,x]==(1/2)(BesselJ[n-1,x]-BesselJ[n+1,x])//FullSimplify

tozsamoscBessela04=(∂_x)((x^n)BesselJ[n,x])==(x^n)BesselJ[n-1,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela05=(∂_x)((x^(-n))BesselJ[n,x])==-(x^(-n))BesselJ[n+1,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela06=(∂_x)BesselJ[0,x]==-BesselJ[1,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela07=BesselJ[2,x]-BesselJ[0,x]==2(∂_(x,x))BesselJ[0,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela08=BesselJ[2,x]==(∂_(x,x))BesselJ[0,x]-(1/x)(∂_x)BesselJ[0,x]//FullSimplify

tozsamoscBessela09=BesselJ[n,x]==(((-1))^n)BesselJ[-n,x]/.n->RandomInteger[100]

tozsamoscBessela10=BesselJ[α,x]==(((((x/2)))^α)/(Gamma[α+1]))Hypergeometric0F1[α+1,-((x^2)/4)]//FunctionExpand

Funkcje Bessela drugiego rodzaju

Grafika

Clear["Global`*"]
(* Maksymalny rząd funkcji Bessela drugiego rodzaju *)
nmax=5;
(* Skala rysunku *)
size=7;
Manipulate[Column[{StyleForm["Funkcje Bessela drugiego rodzaju (Subscript[Y, n])(x)",FontFamily->"Times",FontSize->18,FontWeight->"Bold",Black],BesselY[n,x]//Expand,Plot[BesselY[n,x],{x,0,20},ImageSize -> size 72,AspectRatio -> 1,PlotRange->{-2,1},PlotStyle->{{Thickness[0.007],Brown}},Frame->ramka,FrameStyle->Directive[12],AxesStyle->Directive[Blue,12],AxesLabel->{Style[x,FontWeight->"Bold",FontSize->14
],Style[BesselY[n,x],FontWeight->"Bold",FontSize->14]},Background->Yellow]},Center,Background->{White,Yellow,Yellow},Frame->{None,True,True},ItemStyle->{2->{Bold,Blue}}],{{ n,0, "rząd n"},0,nmax,1},{ramka,{True,False}}]

Zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Grafika

Clear["Global`*"]
(* Maksymalny rząd zmodyfikowanej funkcji Bessela pierwszego rodzaju *)
nmax=5;
(* Skala rysunku *)
size=7;
Manipulate[Column[{StyleForm["Zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rodzaju (Subscript[I, n])(x)",FontFamily->"Times",FontSize->18,FontWeight->"Bold",Black],BesselI[n,x]//Expand,Plot[BesselI[n,x],{x,-4,4},ImageSize -> size 72,AspectRatio -> 1,PlotRange->{-4,4},PlotStyle->{{Thickness[0.007],Brown}},Frame->ramka,FrameStyle->Directive[12],AxesStyle->Directive[Blue,12],AxesLabel->{Style[x,FontWeight->"Bold",FontSize->14
],Style[BesselI[n,x],FontWeight->"Bold",FontSize->14]},Background->Yellow]},Center,Background->{White,Yellow,Yellow},Frame->{None,True,True},ItemStyle->{2->{Bold,Blue}}],{{ n,0, "rząd n"},0,nmax,1},{ramka,{True,False}}]

Zmodyfikowane funkcje Bessela drugiego rodzaju

Grafika

Clear["Global`*"]
(* Maksymalny rząd zmodyfikowanych funkcji Bessela drugiego rodzaju *)
nmax=5;
(* Skala rysunku *)
size=7;
Manipulate[Column[{StyleForm["Zmodyfikowane funkcje Bessela drugiego rodzaju (Subscript[K, n])(x)",FontFamily->"Times",FontSize->18,FontWeight->"Bold",Black],BesselK[n,x]//Expand,Plot[BesselK[n,x],{x,0,4},ImageSize -> size 72,AspectRatio -> 1,PlotRange->{0,4},PlotStyle->{{Thickness[0.007],Brown}},Frame->ramka,FrameStyle->Directive[12],AxesStyle->Directive[Blue,12],AxesLabel->{Style[x,FontWeight->"Bold",FontSize->14
],Style[BesselK[n,x],FontWeight->"Bold",FontSize->14]},Background->Yellow]},Center,Background->{White,Yellow,Yellow},Frame->{None,True,True},ItemStyle->{2->{Bold,Blue}}],{{ n,0, "rząd n"},0,nmax,1},{ramka,{True,False}}]

Literatura

[1] Whittaker E.T., Watson G.N. Kurs analizy współczesnej  (część druga) PWN, Warszawa 1968

Z cyklu:   Proste zadania do nauki algebry komputerowej

Zdzisław A. Golda
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński