Quit[]

Caka nieoznaczona

Caka nieoznaczona

Integrate

Integrate[f[x],x];
∫f[x]\[DifferentialD]x
∫f[x]\[DifferentialD]x//TraditionalForm

Przykład

f[x_]=Sin[x]-((Cos[x])/x);

∫f[x]\[DifferentialD]x
∫f[x]\[DifferentialD]x//TraditionalForm

Forma normalna podaje wynik używając własnej notacji funkcji specjalnych. Ponieważ notacja ta opiera się na nazwach stanowiących kombinacje słów (CosIntegral, BesselY...) dość łatwo jest rozszyfrować znaczenie tych funkcji. Forma tradycyjna podaje notację identyczną jak w tablicach całek.

Inne przykłady

Całka wyrażona funkcją elementarną

∫(x^n)\[DifferentialD]x

Całka wyrażone funkcjami specjalnymi

∫(E^(a (x^2)))\[DifferentialD]x
∫(E^(a (x^2)))\[DifferentialD]x//TraditionalForm

∫(Sqrt[a+b Cos[c x]])\[DifferentialD]x
∫(Sqrt[a+b Cos[c x]])\[DifferentialD]x//TraditionalForm

∫(x^n) (a^x)\[DifferentialD]x
∫(x^n) (a^x)\[DifferentialD]x//TraditionalForm

Caka oznaczona

Całka oznaczona wyrażona przez funkcje elementarne (lub specjalne)

Clear[f]

Integrate[f[x],{x,0,1}]
(∫_0^1)f[x]\[DifferentialD]x//TraditionalForm

Przykład:

f[x_]=Sin[ x]-x Cos[x];

(∫_0^1)f[x]\[DifferentialD]x
 %//N

W tym przypadku całkowanie opiera się na wyliczeniu całki nieoznaczonej i podstawieniu granicznych wartosci zmiennej x.

(∫f[x]\[DifferentialD]x/.x->1)-(∫f[x]\[DifferentialD]x/.x->0)

p1=Plot[f[x],{x,0,1},Filling->Axis];
p2=Plot[f[x],{x,0,1.2}];
Show[{p2,p1}]

Clear[f]

Całka z parametrem

Wolne parametry funkcji podcałkowej mogą być nieistotne dla procedury całkowania. Pojawią się one wówczas jako parametry wyniku.

(∫_0^1)(Sin[a x]-b x Cos[x])\[DifferentialD]x

W takich sytuacjach ustalenie parametrów i całkowanie stanowią operacje przemienne.

Dodatkowe założenia (Assumptions)

Na ogół jednak wynik całkowania istotnie zależy od wartości parametrów funkcji podcałkowej. Wówczas rezultat pojawia się  w formie warunku.

(∫_0^∞)Exp[a x]\[DifferentialD]x

Jeśli znamy zakres wartości parametru możemy  wprowadzić dodatkowe założenia w opcjach całkowania

Integrate[(E^(a x)),{x,0,∞},Assumptions->Re[a]<0]

Integrate[(E^(a x)),{x,0,∞},Assumptions->Re[a]≥0]

Ustalenie parametrów oraz całkowanie nie są operacjami przemiennymi!

Całka wielokrotna

Całkę podwójną można zapisać jako

Integrate[Integrate[x^2 + y^2, {y, 0, x}], {x, 0, 1}];

(∫_0^1)((∫_0^x)((x^2)+(y^2))\[DifferentialD]y)\[DifferentialD]x

Można zapisać tak

Integrate[x^2 + y^2, {x, 0, 1}, {y, 0, x}];

(∫_0^1)(∫_0^x)((x^2)+(y^2))\[DifferentialD]y\[DifferentialD]x

W tym ostatnim przypadku  zmienne całkowania podaje się w "odwróconym porzadku". Zmiena całki zewnętrznej występuje w sekwencji zmiennych całkowania wcześniej.

Integrate[Sin[x y],{y,0,1},{x,0,y}];

(∫_0^1)(∫_0^y)Sin[x y]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Całkowanie numeryczne (NIntegrate)

W ogólności całka może nie dać się wyrazić przy pomocy funkcji specjalnych

(∫_0^1)Sin[Sin[x]]\[DifferentialD]x

Całkę oznaczoną możemy wówczas wyliczyć przy pomocy procedur numerycznych

NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]

źródło notatnika

Algebra Komputerowa  (http://mth.drac.oa.uj.edu.pl/public.php?pubcase=lecture)
Wersja programu: Mathematica 7

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński