Quit[]

Pochodne

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna (D)

Clear[f]

Zapis pełny, normalny i tradycyjny:

D[f[x], x];

f'[x]

f'(x)

Przykład

D[Log[x],x];

(∂_x)Log[x];

((∂log(x))/(∂x))

Pełny zapis pochodnej jest identyczny z zapisem pochodnej cząstkowej. Jeżeli funkcja zależy tylko od jednej zmiennej output przyjmie formę uproszczoną f'[x]

Druga pochodna

Clear[f]

Zapis pełny, normalny i tradycyjny:

D[f[x],{x,2}];

(∂_({x,2}))f[x];

(((∂^2)f(x))/(∂(x^2)));

Zapis skrócony

f''[x]

n-ta pochodna

Zapis pełny, normalny i tradycyjny:

D[f[x],{x,n}];

(∂_({x,n}))f[x];

(((∂^n)f(x))/(∂(x^n)))

Ostrzeżenia

Uwaga 1:  Symbol D jest zastrzeżony

D=2

Uwaga 2:  Można wkopiować output  Derivative[n][f][x] do nowej celi

Derivative[n][f][x]

ale nie można wprowadzić n-tej pochodnej przez literalne wprowadzenie (f^((n)))[x] "z klawiatury"

(f^((n)))[x]

Różniczka (Dt)

Różniczkę dx oznacza symbol Dt[x]. Litera t jest integralną częścią symbolu Dt i nie ma związku z czasem.

Dt[x];

\[DifferentialD]x

Różniczka funkcji jest przekształcana na iloczyn pochodnej i różniczki zmiennej niezależnej

Dt[f[x]]

Dt[f[x]]==Dt[x] f'[x];

\[DifferentialD]f(x)==\[DifferentialD]x f'(x);

Funkcja złożona

Funkcja złożona

Clear[f,g]

g[f[x]];

(∂_x)g[f[x]];

((∂g(f(x)))/(∂x))

Różniczkowanie względem funkcji

Pochodna g względem funkcji f

D[g[f[x]],f[x]];

(∂_(f[x]))g[f[x]];

((∂g(f(x)))/(∂f(x)))

Przykład z mechaniki teoretycznej:  Równanie Eulera-Lagrange'a (*)

Lagranżjan oscylatora harmonicznego

L[ϕ[t],ϕ'[t]]=-(1/2)(((ϕ'[t])^2)-(m^2)((ϕ[t])^2));

L(ϕ(t),ϕ'(t))=-(1/2) (((ϕ'(t))^2)-(m^2) ((ϕ(t))^2)) ;

Równanie Eulera-Lagrange'a

(∂_(ϕ[t]))L[ϕ[t],ϕ'[t]]-(∂_t)((∂_(ϕ'[t]))L[ϕ[t],ϕ'[t]])==0;

((∂L(ϕ(t),ϕ'(t)))/(∂ϕ(t)))-(∂/(∂t))((∂L(ϕ(t),ϕ'(t)))/(∂ϕ'(t)))==0

Otrzymałem równanie ruchu oscylatora. 
Rozwiązuję

DSolve[%,ϕ[t],t][[1,1]]//TraditionalForm

Pochodne funkcji wielu zmiennych

Pochodna cząstkowa

D[f[x,y], x];

(∂_x)f[x,y];

((∂f(x,y))/(∂x))

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

D[f[x,y], {x,2},{y,3}];

(∂_({x,2},{y,3}))f[x,y];

(((∂^5)f(x,y))/(∂(x^2) ∂(y^3)))

Przykład: Minimum funkcji wielu zmiennych

Jako przykład biorę wielomian

ϕ=(x^2)+(y^2)+(x^3)-(y^3);

Plot3D[ϕ,{x,-2,2},{y,-2,2}]

Definiuję gradient funkcji grad[F] oraz macierz drugich pochodnych grad@grad[F]].  Funkcja ma minimum w miejscu, w którym gradient znika a wartości własne macierzy drugich pochodnych są dodatnie.

X=Variables[ϕ];
grad[f_]:=Table[(∂_(X[[k]]))f,{k,1,Length[X]}]
Solve[{grad[ϕ]==0,Sign[Eigenvalues[grad@grad[ϕ]]]==ConstantArray[1,Length[X]]},X]

W badaniu funkcji dwóch zmiennych pomocny może być obraz pola wektorowego F = - grad[ϕ].  Jeśli ϕ rozumieć jako potencjał wówczas F jest polem sił.  Minimum leży w punkcie "przyciągającym" (miejsce minimum jest atraktorem).

StreamPlot[Evaluate[-grad@ϕ],{x,-2,2},{y,-2,2}]

Clear[f]

Różniczka funkcji wielu zmiennych

Dt[f[x,y]]

\[DifferentialD]f(x,y)  //TraditionalForm

Dt[g[f[x,y]]]

\[DifferentialD]g(f(x,y)) //TraditionalForm

źródło notatnika

Algebra Komputerowa  (http://mth.drac.oa.uj.edu.pl/public.php?pubcase=lecture)
Wersja programu: Mathematica 7

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński