Quit[]

Granice

Funkcja ciągła

Przykład (funkcja ciągła)

f[x_]=((Sin[x])/x)-Cos[x];

Plot[f[x],{x,-4,4}]

Limit[f[x],x->1]

(lim_(x->1)) f(x)

Granica lewo i prawostronna

Przykład funkcji nieciągłej

f[x_]=(1/(1+(E^(1/(x-1)))));

Plot[f[x],{x,-5,5}, AspectRatio->1/3]

Limit[f[x],x->1,Direction->1]

Limit[f[x],x->1,Direction->-1]

Uwaga: domyślna watrość Direction->-1

Limit[f[x],x->1]

Przykład (tangens)

f[x_]=Tan[x];

Plot[f[x],{x,-4,4}]

Limit[f[x],x->(π/2),Direction->1]

Limit[f[x],x->(π/2),Direction->-1]

Przykład (funkcja schodkowa)

f[x_]=((Sqrt[(x^2)-6x+9])/(x-3));

Plot[f[x],{x,2,4}]

Limit[f[x],x->3,Direction->1]

Limit[f[x],x->3,Direction->-1]

Twierdzenia o granicy funkcji

Granica funkcji stałej

(lim_(x->a)) A

Granica sumy, granica iloczynu

Clear[f,g]

(lim_(x->a)) (f(x)+g(x))==(lim_(x->a)) f(x)+(lim_(x->a)) g(x)//FullSimplify

(lim_(x->a)) (f(x) g(x))==((lim_(x->a)) f(x))((lim_(x->a)) g(x))//FullSimplify

Uwaga: Twierdzenia te obowiązują dla granic własciwych. W wyrażeniach powyżej niewykluczone są wyrażenia  ∞-∞, ∞/∞ itd... Mathematica domniemuje, że granice moga być niewłaściwe.

Granice właściwe:

f[x_]=Sin[x];
g[x_]=Cos[x];

(lim_(x->a)) (f(x)+g(x))==(lim_(x->a)) f(x)+(lim_(x->a)) g(x)//FullSimplify

(lim_(x->a)) (f(x) g(x))==((lim_(x->a)) f(x))((lim_(x->a)) g(x))//FullSimplify

Reguła de l'Hospitala

(lim_(x->0)) (((Sqrt[x+1])-1)/x)

(lim_(x->1)) ((x/(x-1))-(1/(log(x))))

Funkcje wielu zmiennych

Przykład

f[x_,y_]=(x^3)+6(x^2)+(y^2);

Limit[Limit[f[x,y],y->3],x->2]
Limit[Limit[f[x,y],x->2],y->3]

(lim_(x->2)) (lim_(y->3)) f(x,y)
(lim_(y->3)) (lim_(x->2)) f(x,y)

Przykład (nieprzemienność)

f[x_,y_]=(((x^2) y)/((x^2)+(y^2)));

Nieprzemieność

Limit[Limit[f[x,y],y->∞],x->∞]
Limit[Limit[f[x,y],x->∞],y->∞]

(lim_(x->∞)) (lim_(y->∞)) f(x,y)
(lim_(y->∞)) (lim_(x->∞)) f(x,y)

Funkcje okresowe

Limit[Sin[x],x->Infinity]

źródło notatnika

Algebra Komputerowa  (http://mth.drac.oa.uj.edu.pl/public.php?pubcase=lecture)
Wersja programu: Mathematica 7

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński