Quit[]

Pierwiastki wielomianów i miejsca zerowe funkcji

Rozwiązania ścisłe (Solve)

Pierwiastki równania kwadratowego

Solve[a (x^2)+b x +c==0,x]

(autor:  © )

Pierwiastki równania trzeciego stopnia

Solve[ (x^3)+2 (x^2) +2 x +4==0,x]//Simplify

Solve[a (x^3)+b (x^2) +c x +d==0,x]//Simplify;

Pierwiastki równania czwartego stopnia

Solve[ (x^4)+2 (x^3)+2 (x^2) + x +4==0,x]//Simplify

Solve[a (x^4)+b (x^3)+c (x^2) +d x +e==0,x];

Pierwiastki równania piątego stopnia ??

Solve[a (x^5)+b (x^4)+c (x^3)+d (x^2) +e x +f==0,x]

Solve[(x^5)+ (x^4)+2 (x^3)+4 (x^2) +2 x +1==0,x]

Solve[(x^5)+ (x^4)+2 (x^3)+4 (x^2) +2 x +1==0,x]//N

Twierdzenie Abela-Ruffiniego: nie istnieje ogólny  wzór na pierwiastki wielomianu stopnia  n > 4 wyrażony przy pomocy czterech działań podstawowych i pierwiastkowania.

- zobacz noty historyczne:
 http://pl.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini
 http://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_Galois

Rozwiązania numeryczne

Solve[..]//N,  NSolve

Dla równań od piątego stopnia wzwyż pierwiastki podawane są w formie Root

pierwiastki=Solve[x^5-4(x^2)+3x+1==0,x]

Można na nich operować jak na liczbach.

x^5-4(x^2)+3x+1/.pierwiastki//Simplify

pierwiastki//N//TableForm

NSolve[x^5-4(x^2)+3x+1==0,x]

Miejsca zerowe innych funkcji

FindRoot, FindMinimum

Wobec innych równań, niewielomianowych, funkcje Solve i NSolve moga być bezradne

Solve[Sin[x+1]==(x^2),x]

NSolve[Sin[x+1]==(x^2),x]

Jest to równanie przestępne.  Równanie to jednak ma pierwiastki, co widać na rysunku

Plot[Sin[x+1]-(x^2),{x,-2,2}]

Pierwiastki te można znaleźć numerycznie używając FindRoot. W odróżnieniu jednak od Solve i NSolve funkcja FindRoot wymaga podania punktu początkowego. FindRoot poszukuje pierwiastka w otoczeniu tego punktu (poszerza jego otoczenie odpowiednio, aż znajdzie pierwsze miejsce zerowe).

FindRoot[Sin[x+1]-(x^2)==0,{x,-0.5}]

FindRoot[Sin[x+1]-(x^2),{x,-1,1}]

FindRoot w dzialaniu na układy równań

FindRoot[{Exp[x-2]==y,y^2==x},{{x,1},{y,1}}]

Podobnie działają funkcje FindMinimum, FindMaximum

FindMaximum[Sin[x+1]-(x^2),{x,0}]

źródło notatnika

Algebra Komputerowa  (http://mth.drac.oa.uj.edu.pl/public.php?pubcase=lecture)
Wersja programu: Mathematica 7

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński