Elementy analizy 
danych pomiarowych (jedna zmienna)

Rozkłady

Rozkład jednostajny: UniformDistribution

Rozkład o stałej gęstosci prawdopodobieństwa w przedziale {a,b} i zero poza nim. Z warunku normalizacji wynika że gęstośc prawdopodobieństwa f=(1/(b-a))

n=200;
a=2;b=3;
X=RandomReal[UniformDistribution[{a,b}],n];

Wariancja dla ciągłego rozkładu jednostajnego jest równa (b-a)/12  (Brandt 1974 Metody statystyczne i obliczeniowe analizy danych). Przy pomiarze zjawiska losowego określonego takim rozkładem, wyznaczona z próbki  wariancja podzielona przez szerokość pasma (b-a)  będzie w przybliżeniu równa liczbie (b-a)/12. Przybliżenie jest tym lepsze im większa jest próbka.

(1/(b-a))Variance[X]
(((b-a))/12)//N

PDF-probability density function

Plot[PDF[UniformDistribution[{a,b}]][x],{x,0,4},PlotStyle->Thick]

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego): BinomialDistribution

Clear[n]

PDF[BinomialDistribution[n,p],k]

μ==Mean[BinomialDistribution[n,p]]

Variance[BinomialDistribution[n,p]]

σ==Sqrt[Variance[BinomialDistribution[n,p]]]

ListPlot[Table[{k,PDF[BinomialDistribution[40,0.4],k]},{k,0,40}],Filling->Axis]

Rozkład Poissona: PoissonDistribution

Rozkład Piossona to granica rozkładu dwumianowego dla n -> ∞, przy ustalonej średniej μ. Prawdopodobieństwo musi się wówczas zachowywać jak:

p=μ/n;

Limit[PDF[BinomialDistribution[n,p],k],n->∞]

Table[k!-Gamma[1+k],{k,0,10}]

Clear[p]

PDF[PoissonDistribution[μ],k]

ListPlot[Table[{k,PDF[PoissonDistribution[15],k]},{k,0,35}],Filling->Axis]

Rozkład Poissona ma zastosowanie do opisu rozpadu radioaktywnego pray dużej liczbie jąder i małym prawdopodobieństwie rozpadu (dużym czasie połowicznego rozpadu).

Rozkład normalny (Gaussa, de Moivre'a): NormalDistribution

PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]

Mean[NormalDistribution[μ,σ]]

Variance[NormalDistribution[μ,σ]]

Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-4,4}]

Warunek normalizacji do jedności:

(∫_(-∞)^∞)PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]\[DifferentialD]x;
Simplify[%,0<σ]

Analiza próbki

Generuję próbkę o rozkładzie normalnym:

X=RandomReal[NormalDistribution[2.5,0.2],200];

ListPlot

ListPlot[X,PlotRange->{0,5}]

Średnia (Mean)

μ[x_]=Mean[X]

Badam co robi polecenie Mean:

n=Length[X];
Total[X]==(∑_(i=1)^n)X[[i]]

μ[X]==(1/n)(∑_(i=1)^n)X[[i]]
μ[X]==((Total[X])/(Length[X]))

Wariancja (Variance), odchylenie standardowe (StandardDeviation)

Estymator nieobciążony

Variance[list]    var(x)=(σ^2)(x)= ∑((((Subscript[x, i])-μ(x)))^2)/(n-1)

Badam co robi polecenie Variance:

Variance[X]==(1/(n-1))(∑_(i=1)^n)(((X[[i]]-μ[X]))^2)                                  
Variance[X]==(1/(Length[X]-1))Total[(((X-Mean[X]))^2)]

Wariancja dla próbki X

Variance[X]

Odchylenie standardowe

StandardDeviation[X]

zdefiniowane jest jako pierwiastek kwadratowy z wariancji

(Sqrt[Variance[X]])==StandardDeviation[X]

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów użyteczna jest przy dopasowaniu krzywych do próbek pomiarowych wielu zmiennych. Można jednak wykonać prosty przykład dla jednej zmiennej

n=Length[X];

Poszukuję takiej wartości zmiennej y dla której funkcja (suma kwadratów odchyleń)

f[y_]=(∑_(i=1)^n)(((y-X[[i]]))^2) //Simplify

posiada minimum

Plot[f[y],{y,1.5,4}, PlotRange->{0,40}]

Szukam miejsca minimum

(∂_y)f[y]==0;
Solve[%,y]//Last

Wyliczona dla próbki X wartość y -> 2.50129 nie różni się od wartości średniej

μ[X]