Zaburzenie skalarne w płaskim wszechświecie radiacyjnym
(gauge podłużny)

Zadanie:

Wykazać, że zaburzenia gęstości w modelu Robertsona-Walkera, w ośrodku o równaniu stanu p=ϵ/3 spełniają równanie d'Alemberta. Użyć cechowania podłużnego. Ograniczyć się do zerowej krzywizny przestrzennej oraz zaburzeń zależnych od jednej zmiennej przestrzennej. Podać rozwiązanie ogólne.

Czy prędkość propagacji zależy od skali lub kształtu zaburzenia?

Rozwiązanie:

SetOptions[EvaluationNotebook[],CommonDefaultFormatTypes->{"Output"->TraditionalForm}]
Clear[a ,ϕ,ω,k];
Derivative[1+k_,0][ϕ][η_,𝓍_]=1;Derivative[1+k_,0][ϕ][η_,𝓍_]=.
δg=1;δg=.

Zmienne i metryka przestrzeni zaburzonej

x={η, 𝓍, 𝓎,𝓏};
dim=Length[x];

ff=ϕ[η,𝓍];
g:=((a[η])^2)DiagonalMatrix[{-(1+2ε ff),(1-2ε ff),(1-2ε ff),(1-2ε ff)}]
(Underscript[g, -1])=Inverse[g];
δ=IdentityMatrix[dim];
metryka:=((a[η])^2)MatrixForm[(g/((a[η])^2))]

η - czas konforemny: dη=dt/a
a(η) - czynnik skali

x={η,𝓍,𝓎,𝓏};

(Subscript[g, RW]):=((a(η))^2) (({{-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}))

g:=(Subscript[g, RW])+δg

g:=((a(η))^2) (({{-1-2 ε ϕ(η,𝓍), 0, 0, 0}, {0, 1-2 ε ϕ(η,𝓍), 0, 0}, {0, 0, 1-2 ε ϕ(η,𝓍), 0}, {0, 0, 0, 1-2 ε ϕ(η,𝓍)}}))

ϕ(η, 𝓍) - potencjał zaburzenia (gauge konforemnie newtonowski)
ε - parametr  kontrolujący rząd rachunku zaburzeń (wielkość mała)

Tensor Einsteina  (Subscript[G, μν])

Koneksja (Subscript[(Γ^σ), μν])

AFF=Function[{i,j,k},(1/2) (∑_(s=1)^dim)(Underscript[g, -1])[[k,s]] (-(∂_(x[[s]]))g[[i,j]]+(∂_(x[[j]]))g[[i,s]]+(∂_(x[[i]]))g[[j,s]])];
Γ=Simplify[Array[AFF,{dim,dim,dim}]];

Tensor Ricciego (Subscript[R, μν])

Ricci=Function[{i,j},-(∂_(x[[j]]))((∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,q]])+(∑_(k=1)^dim)(∂_(x[[k]]))Γ[[i,j,k]]+(∑_(p=1)^dim)Γ[[i,j,p]] (∑_(q=1)^dim)Γ[[p,q,q]]-(∑_(p=1)^dim)(∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,p]] Γ[[j,p,q]]];
R=Simplify[Array[Ricci,{dim,dim}]];
R‡=Simplify[(Underscript[g, -1]).R];
skalarR=(∑_(i=1)^dim)R‡[[i,i]]//Simplify;

Tensor Einsteina (Subscript[G, μν])

G‡ℰ𝒾𝓃𝓈𝓉=Simplify[R‡-(1/2)δ(∑_(k=1)^4)R‡[[k,k]]]//Simplify; TrG=(∑_(i=1)^dim)G‡ℰ𝒾𝓃𝓈𝓉[[i,i]]//Simplify;
Series[TrG,{ε,0,1}]//FullSimplify

Zaburzenia w cieczy relatywistycznej (ϵ=3p):  Równanie propagacji

Rozwiązuję równanie   (Subscript[(G^μ), μ])=(Subscript[(T^μ), μ])=0

Równanie Friedmana (zerowy rząd rachunku zaburzeń)

eq=0==Normal[Series[TrG,{ε,0,1}]];
eq0=0==Normal[Series[TrG,{ε,0,0}]]

Równanie propagacji zaburzenia skalarnego (pierwszy rząd rachunku zaburzeń)

eq1=0==Simplify[(((a[η])^2)/6) eq[[2]]/.Solve[eq0,a''[η]]//.ε->1][[1]]
a[η_]=a[η]/.DSolve[eq0,a[η],η][[1,1]]/.C[1]->0/.C[2]->1;eq1

Równanie falowe

Twierdzenie:

Zmienna

𝒟(η_,𝓏_)=(1/η)((∂((η^3) ϕ(η,𝓍)))/(∂η));

spełnia równanie falowe

falowe:=(((∂^2)𝒟(η,𝓍))/(∂(η^2)))-(1/3) (((∂^2)𝒟(η,𝓍))/(∂(𝓍^2)))==0;

Dowód:

Derivative[2,0][ϕ][η_,𝓍_]=Simplify[Derivative[2,0][ϕ][η,𝓍]/.Solve[eq1,Derivative[2,0][ϕ][η,𝓍]][[1,1]]];
Derivative[1+k_,0][ϕ][η_,𝓍_]:=Simplify[(∂_η)Derivative[k,0][ϕ][η,𝓍]]
falowe//Simplify

Rozwiązania:

𝒟[η_,𝓍_]=.;Simplify[DSolve[falowe,𝒟[η,𝓍],{η,𝓍},GeneratedParameters->f]][[1,1]]

Odpowiedź:

Zaburzenia gęstości w płaskim modelu Robertsona-Walkera wypełnionym cieczą doskonałą o równaniu stanu  p=ϵ/3 propagują się z prędkością   c==(1/(Sqrt[3])) niezależnie od ich kształtu lub rozmiaru.

Referencje:

R. K. Sachs, A. M. Wolfe (1967) Astrophys J.147,73 
G. B. Field, L.C. Shepley Astrophys. Space Sci. (1968) 1, 309	
R. Brandenberger, R. Kahn, W. H. Press (1983) Phys. Rev. D28, 1809
Z. Golda, A. Woszczyna (2003) Phys. Lett. A310, 357

Źródło notatnika

http://www.oa.uj.edu.pl/~woszcz/Teaching/kosmologia/wave_long_flat_rad.nb

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński