Zaburzenie skalarne: gauge podłużny (I)

Zadanie:

We wszechświecie jednorodnym izotropowym wypełnionym cieczą o równaniu stanu p=p(ϵ) propaguje się zaburzenie gęstości zależne od jednej kartezjańskiej zmiennej przestrzennej 𝓏. Wyrazić zaburzoną metrykę w cechowaniu podłużnym. Wyliczyć równanie propagacji tego zaburzenia.

Rozwiązanie:

SetOptions[EvaluationNotebook[],CommonDefaultFormatTypes->{"Output"->TraditionalForm}];

Clear[a ,ϕ,ω,k,δδ,δϵ,δp,ϕ,Δϕ,ψ,Δψ,ϵ,p,v,K];

a'[η_]=0;a'[η_]=.
a''[η_]=0;a''[η_]=.
H'[η_]=0;H'[η_]=.

δg=1;δg=.

Derivative[2,0][ϕ][η_,𝓏_]=0;Derivative[2,0][ϕ][η_,𝓏_]=.
Derivative[1+k_,0][ϕ][η_,𝓍_]=1;Derivative[1+k_,0][ϕ][η_,𝓍_]=.

typ={0<a[η],0<H[η],0<ϵ[η],0<p[η],0<η};

Zmienne i metryka przestrzeni zaburzonej

Współrzędne

x={η, 𝓍, 𝓎,𝓏};
dim=Length[x];

rr=x.x-(η^2);

Zaburzenie zależne od jednej zmiennej (gauge podłużny)

f=ϕ[η,𝓏];
F=ψ[η,𝓏];

Metryka

g1=((a[η])^2)DiagonalMatrix[{-(1+2ε f),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2)),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2)),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2))}];

g=Series[((a[η])^2)DiagonalMatrix[{-(1+2ε f),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2)),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2)),(((1-2ε F))/(((1+((K  rr)/4)))^2))}],{ε,0,1}];

(Underscript[g, -1])=Inverse[g];
δ=IdentityMatrix[dim];

zmienne:=x
metryka:=((a[η])^2)MatrixForm[(g1/((a[η])^2))]

η - czas konforemny: dη=dt/a
a(η) - czynnik skali

zmienne

metryka

ϕ(η,𝓏), ψ(η,𝓏) - potencjały zaburzenia (gauge konforemnie newtonowski)
ε - parametr  kontrolujący rząd rachunku zaburzeń (wielkość mała)

Laplasjan

Zobacz zadanie:  Dalambercjan w przestrzeni Robertsona-Walkera (parametryzacja kartezjańska)

lap1=Δϕ[η,𝓏]==(((1+(1/4) K ((𝓍^2)+(𝓎^2)+(𝓏^2))))^2) (-((2 K 𝓏  Derivative[0,1][ϕ][η,𝓏])/(4+K ((𝓍^2)+(𝓎^2)+(𝓏^2))))+Derivative[0,2][ϕ][η,𝓏]);
lap2=Δψ[η,𝓏]==(((1+(1/4) K ((𝓍^2)+(𝓎^2)+(𝓏^2))))^2) (-((2 K 𝓏  Derivative[0,1][ψ][η,𝓏])/(4+K ((𝓍^2)+(𝓎^2)+(𝓏^2))))+Derivative[0,2][ψ][η,𝓏]);

laplasjan=Solve[{lap1,lap2},{Derivative[0,2][ϕ][η,𝓏],Derivative[0,2][ψ][η,𝓏]}]//Flatten//Simplify

Tensor Einsteina  ((Subscript[G, μ])^ν) (procedury)

Koneksja (Subscript[(Γ^σ), μν])

Koneksja[x_,g_]:=(dim=Length[x];AFF=Function[{i,j,k},(1/2) (∑_(s=1)^dim)(Underscript[g, -1])[[k,s]] (-(∂_(x[[s]]))g[[i,j]]+(∂_(x[[j]]))g[[i,s]]+(∂_(x[[i]]))g[[j,s]])];
Γ=Simplify[Array[AFF,{dim,dim,dim}]];)

Tensor Ricciego ((Subscript[R, μ])^ν)

Ricci[x_,g_]:=(Koneksja[x,g];Ri=Function[{i,j},-(∂_(x[[j]]))((∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,q]])+(∑_(k=1)^dim)(∂_(x[[k]]))Γ[[i,j,k]]+(∑_(p=1)^dim)Γ[[i,j,p]] (∑_(q=1)^dim)Γ[[p,q,q]]-(∑_(p=1)^dim)(∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,p]] Γ[[j,p,q]]];
Rcov=Simplify[Array[Ri,{dim,dim}]];R‡=Simplify[(Underscript[g, -1]).Rcov];)

Tensor Einsteina ((Subscript[G, μ])^ν)

EinsteinG[x_,g_]:=(Ricci[x,g];G‡=Simplify[R‡-(1/2)IdentityMatrix[dim] Tr[R‡]];)

Tensor Einsteina  ((Subscript[G, μ])^ν)

EinsteinG[x,g]

Dynamika Friedmana

ℋ[η_]=a[η]H[η];
a'[η_]=a[η]ℋ[η];a''[η_]=D[a'[η],η];
H'[η_]=-a[η](((H[η])^2)+(1/6) (ϵ[η]+3 p[η]));

Zaburzenia w cieczy barotropowej (p=p(ϵ)):  Równanie propagacji

Izotropia ciśnienia

model niezaburzony:

p0[η_]=Simplify[G‡[[2,2]]/.ε->0];
p0[η]==Simplify[G‡[[3,3]]/.ε->0]
p0[η]==Simplify[G‡[[4,4]]/.ε->0]

warunek izotropii ciśnienia zaburzonego

pp=Table[G‡[[k,k]],{k,2,dim}]//Normal//Simplify;

{0,0,0}==pp-RotateLeft[pp]//Simplify

Wniosek:  Aby ciśnienie było izotropowe pola ψ i ϕ musza być identyczne

ψ=ϕ;
Δψ=Δϕ;

δp[η_]=G‡[[2,2]]-p0[η]//Normal//Simplify;

Zaburzenie energii i ciśnienia

ϵ[η_]=Simplify[-G‡[[1,1]]/.ε->0];
δϵ[η_]=Series[-G‡[[1,1]]-ϵ[η],{ε,0,1}]//Normal//Simplify;
δδ[η_]=((δϵ[η])/(ϵ[η]))//Simplify;

δϵ[η_]=Simplify[δϵ[η]/.laplasjan];
δp[η_]=Simplify[δp[η]/.laplasjan];
δδ[η_]=Simplify[δδ[η]/.laplasjan];

δϵ[η]==    ((2 ε )/((a[η])^2)) (Δϕ[η,𝓏]+3 (K-((a[η])^2) ((H[η])^2)) ϕ[η,𝓏]-3 a[η] H[η] Derivative[1,0][ϕ][η,𝓏])//Simplify
δp[η]==-((2 ε )/((a[η])^2))((2 K+((a[η])^2) p[η]) ϕ[η,𝓏]-3 a[η] H[η] Derivative[1,0][ϕ][η,𝓏]-Derivative[2,0][ϕ][η,𝓏])/.laplasjan//Simplify

Równanie perturbacyjne

r1=δp(η)==(((Subscript[c, s])(η))^2) δϵ(η);

fibis=Solve[r1,Derivative[2,0][ϕ][η,𝓏]][[1,1]]//Simplify

Otrzymane równanie jest równaniem Brandenbergera, Kahna, Pressa:

BKP1=Derivative[2,0][ϕ][η,𝓏]==-3 a[η] H[η] (1+(((Subscript[c, s])[η])^2)) Derivative[1,0][ϕ][η,𝓏]+(((Subscript[c, s])[η])^2) Δϕ[η,𝓏]+(2 K+3 (K-((a[η])^2) ((H[η])^2)) (((Subscript[c, s])[η])^2)+3 (K+((a[η])^2) ((H[η])^2)) ((p[η])/(ϵ[η]))) ϕ[η,𝓏] ;
BKP2=Derivative[2,0][ϕ][η,𝓏]==-3  ℋ[η] (1+(((Subscript[c, s])[η])^2)) Derivative[1,0][ϕ][η,𝓏]+(2 K+3 (K- ((ℋ[η])^2)) (((Subscript[c, s])[η])^2)+3 (K+((ℋ[η])^2)) ((p[η])/(ϵ[η]))) ϕ[η,𝓏]+(((Subscript[c, s])[η])^2) Δϕ[η,𝓏] ;

BKP2=Derivative[2,0][ϕ](η,𝓏)+3 ℋ(η) (1+(((Subscript[c, s])(η))^2)) Derivative[1,0][ϕ](η,𝓏)-(3 (K-((ℋ(η))^2)) (((Subscript[c, s])(η))^2)+2 K+3 (K+((ℋ(η))^2))(( p(η))/(ϵ(η)))) ϕ(η,𝓏)-Δϕ(η,𝓏) (((Subscript[c, s])(η))^2)==0;

{BKP1,BKP2}/.fibis//Simplify

Inna forma równania

Φ=ϕ(η,𝓏); ΔΦ=Δϕ(η,𝓏);

BKP=(((∂^2)Φ)/(∂(η^2)))+3 (1+(((Subscript[c, s])(η))^2))ℋ(η)((∂Φ)/(∂η))  -(((Subscript[c, s])(η))^2)ΔΦ +(2 ℋ'(η)+(1+3 (((Subscript[c, s])(η))^2))(((ℋ(η))^2)-K) ) Φ==0;

BKP/.fibis//Simplify

Komentarz:

W teorii liniowej propagacja zaburzeń nie zależy od ich kształtu. Stąd otrzymany wynik jest prawdziwy dla dowolnego ϕ(η,𝓍,𝓎,𝓏). We wszechświecie z barotropowym równaniem stanu równanie Brandenbergera-Kahna-Pressa redukuje się do równania falowego (zobacz zadanie: 
Zaburzenie skalarne: gauge podłużny (II).  Dla wszechswiata radiacyjnego (p=ϵ/3)  zobacz zadanie:  Zaburzenia skalarne we wszechświecie radiacyjnym. I. ).

Referencje:

R. Brandenberger, R. Kahn, W. H. Press (1983) Phys. Rev. D28, 1809

Źródło notatnika

http://www.oa.uj.edu.pl/~woszcz/Teaching/kosmologia/long_baro_kart.nb

Andrzej Woszczyna
Wojciech Czaja
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński