Struktura gwiazdy

Konwencje

c == 1

8 π G == 1

sygnatura = {-, +, +, +}

Oznaczenie  ‡  dotyczy tensorów mieszanych z jednym dolnym i jednym górnym wskaźnikiem.

Procedury geometryczne (geometria różniczkowa)

Wstęp

Clear["Global'*",K]

Koneksja (Subscript[(Γ^σ), μν])

Uwaga: ostatni wskaźnik jest górny.

(Underscript[g, -1])=Inverse[g];δ=IdentityMatrix[dim];

Koneksja[x_,g_]:=(dim=Length[x];AFF=Function[{i,j,k},(1/2) (∑_(s=1)^dim)(Underscript[g, -1])[[k,s]] (-(∂_(x[[s]]))g[[i,j]]+(∂_(x[[j]]))g[[i,s]]+(∂_(x[[i]]))g[[j,s]])];
Γ=Simplify[Array[AFF,{dim,dim,dim}]];)

Pochodna kowariantna (Subscript[T, i :j])  (Subscript[T, i j :k])

Covariant:=(Koneksja[x,g];
Dcov̑1[T_][i_][j_]:=(∂_(x[[j]]))T[[i]]-(∑_(s=1)^dim)Γ[[i,j,s]] T[[s]];Dcov̑2[T_][i_,j_][k_]:=(∂_(x[[k]]))T[[i,j]]-(∑_(s=1)^dim)Γ[[i,k,s]] T[[s,j]]-(∑_(s=1)^dim)Γ[[j,k,s]] T[[i,s]]; )

Tensor Ricciego (Subscript[R, μν])

Ricci[x_,g_]:=(Koneksja[x,g];Ri=Function[{i,j},-(∂_(x[[j]]))((∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,q]])+(∑_(k=1)^dim)(∂_(x[[k]]))Γ[[i,j,k]]+(∑_(p=1)^dim)Γ[[i,j,p]] (∑_(q=1)^dim)Γ[[p,q,q]]-(∑_(p=1)^dim)(∑_(q=1)^dim)Γ[[i,q,p]] Γ[[j,p,q]]];
Rcov=Simplify[Array[Ri,{dim,dim}]];R‡=Simplify[(Underscript[g, -1]).Rcov];)

Tensor Einsteina (Subscript[G, μν])

EinsteinG[x_,g_]:=(Ricci[x,g];G‡=Simplify[R‡-(1/2)IdentityMatrix[dim] Tr[R‡]];)

Metryka sferycznie symetryczna, statyczna

Mertyka sferycznie symetryczna, statyczna

Clear[A,B]

x={t,r,ϑ,φ};dim=Length[x];
g:=DiagonalMatrix[{-B[r],A[r],(r^2),(r^2)((Sin[ϑ])^2)}];

(Underscript[g, -1])=Inverse[g];δ=IdentityMatrix[dim];

g//MatrixForm

Czteroprędkość i przyśpieszenie

Czteroprędkość

Clear[α]; u={α,0,0,0} ;
α=(α/.Solve[u.g.u==-1,α][[2]]);

ȗ=u.g

Przyspieszenie

Covariant

Dcov̑1ȗ=Table[Dcov̑1[ȗ][j][i],{i,dim},{j,dim}]//Simplify;
%//MatrixForm

ȗPRIM=u.Dcov̑1ȗ

Równanie struktury

Tensor Einsteina

EinsteinG[x,g]
G‡//MatrixForm

Izotropia ciśnienia 1

G‡[[3,3]]==G‡[[4,4]]//Simplify

Izotropia ciśnienia 2. (zobacz: relatywistyczne równanie Eulera)

rr23=Collect[Expand[2A[r]Simplify[G‡[[3,3]]-G‡[[2,2]]]],{B''[r],B'[r],B[r]}]==0

izotropia=Solve[G‡[[3,3]]==G‡[[2,2]],B''[r]]//Flatten

relatywistyczne równanie Eulera

Clear[ϵ,p,uPRIM]

Euler=ȗPRIM[[2]]==-(((∂_r)p[r])/(ϵ[r]+p[r]))

ϵ[r_]=-G‡[[1,1]];
p[r_]=G‡[[2,2]];

Euler/.izotropia//Simplify

Tensor Einsteina cieczy izotropowej

G1‡=G‡/.izotropia//Simplify;
%//MatrixForm

masa gwiazdy M[r]

mm:=(∂_r)(r/(A[r]))==1-ϵ[r](r^2)

mm//Simplify

Clear[ϵ]
Integrate[#,r]&/@ mm

Definiuję masę wewnatrz sfery o promieniu r

M[r_]=4π(∫_0^r)(r1^2) ϵ[r1]\[DifferentialD]r1;
A[r_]:=(1/(1-((   M[r])/(4π r))));

mm//Simplify

Tensor Einsteina (wyrażony przez M[r], p[r] i pochodne)

Clear[M,p]

G‡/.izotropia//Simplify;
G2‡=%/.Solve[Euler,B'[r]]//Last//Simplify;
%//MatrixForm

Równanie struktury gwiazdy

G2‡[[2,2]]==p[r]//Simplify;
struktura=Roots[%,p'[r]]//Simplify

Postać równania  (11.1.13)  Weinberg (1972) Gravitation and Cosmology

grav=Solve[8 π G==1,G]//Flatten;

Weinberg=-(r^2)p'[r]== G M[r]ϵ[r](1+((p[r])/(ϵ[r])))(1+((4 π (r^3) p[r])/(M[r])))(((1-((2 G M[r])/r)))^(-1));

Weinberg/.ToRules[struktura]/.grav//Simplify

Źródło notatnika

http : // mth.drac.oa.uj.edu.pl/mufiles/00002/rachunki/zastosowania/StrukturaGwiazdy.nb

Z cyklu:   Zastosowania algebry komputerowej w astrofizyce

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński