Dyspersja fal dźwiękowych we wszechświecie radiacyjnym

Zadanie

Temat

Posługując się równaniem (4.9) Bardeena

B1=(((∂^2)((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m])))/(∂(η^2)))+(1+3 (Subscript[c, s]^2))(((∂_η)S )/S)((∂((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m])))/(∂η))+((((k^2)-K)-3 K) (Subscript[c, s]^2)-(1/2) ((Subscript[Ε, 0])+(Subscript[P, 0])) (S^2)) ((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m]))==0;

(J. M. Bardeen (1980) Phys. Rev. D 22 (8) 1882-1905) wyznaczyć prędkość grupową fal akustycznych we wszechświecie zdominowanym przez promieniowanie. Czy geometria wpływa na propagację fal?

Notacja

(Subscript[ϵ, m])=δ[η];       (* kontrast gęstości energii na powierzchniach ortogonalnych do przepływu *)
S=a[η];          (* czynnik skali *)
(Subscript[Ε, 0])=(Subscript[ϵ, 0])[η];    (* gęstości energii w modelu niezaburzonym *)
(Subscript[P, 0])=(Subscript[p, 0])[η];   (* cisnienie*)

-((k^2)-K)     (* wartość własna operatora Lapace'a *)

Rozwiązanie

Clear[K,S,ϵ,ω,δ]
(Subscript[p, 0])[η_]=1;(Subscript[p, 0])[η_]=.
(Subscript[ϵ, 0])[η_]=1;(Subscript[ϵ, 0])[η_]=.

(Subscript[ϵ, m])=δ[η]; S=a[η];(Subscript[Ε, 0])=(Subscript[ϵ, 0])[η];(Subscript[P, 0])=(Subscript[p, 0])[η];

(Subscript[ϵ, m])=.
(Subscript[ϵ, m])[η_]=.
δ=(Subscript[ϵ, m]);

Równnie perturbacyjne

Część czasowa (Subscript[ϵ, m])[η] i część przestrzenna Q[x] zaburzenia skalarnego opisane są parą równań:

1. równanie dynamiki zaburzeń skalarnych (Bardeen wzór 4.9)

B1=(((∂^2)((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m])(η)))/(∂(η^2)))+(1+3 (Subscript[c, s]^2))(((∂_η)S )/S)((∂((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m])(η)))/(∂η))+((((k^2)-K)-3 K) (Subscript[c, s]^2)-(1/2) ((Subscript[Ε, 0])+(Subscript[P, 0])) (S^2)) ((Subscript[Ε, 0]) (S^3) (Subscript[ϵ, m])(η))==0;

2. równanie Helmholtza (Bardeen wzór 2.7)

△Q(x)+((k^2)-K) Q(x)==0;

Wszechświat radiacyjny:  p=ϵ/3

Równanie stanu

(Subscript[p, 0])[η_]:=(1/3)(Subscript[ϵ, 0])[η];
(Subscript[c, s])=(Sqrt[1/3]);
ℳ==(Subscript[ϵ, 0])[η]((a[η])^4);

Dynamika

θ[η_]:=3((a'[η])/((a[η])^2));
(Subscript[ϵ, 0])[η_]:=(1/3)((θ[η])^2)+3(K/((a[η])^2));

Rozwiązanie

a[η_]=(Sqrt[ℳ/3]) (( Sin[(Sqrt[K]) η])/( (Sqrt[K])));

Równanie propagacji

Upraszczam równanie B1 (4.9)

B2=Simplify[Roots[B1//FullSimplify, (Subscript[ϵ, m])''[η]]];
B2//TraditionalForm

lub inaczej

B3=(Subscript[ϵ, m])''(η)-(ℳ/3)((2 )/((a[η])^2))(Subscript[ϵ, m])(η)+(1/3) ((k^2)-K) (Subscript[ϵ, m])(η)==0;

B3/.Solve[B2,(Subscript[ϵ, m])''[η]][[1]]//Simplify

Rozwiązania

Równanie to rozwiązują funkcje

(Subscript[ϵ, m])[η_]=(1+(((Sqrt[K]) Cot[(Sqrt[K]) η])/(I ω))) (E^(-I ω η));

jeśli spełniona jest relacja dyspersyjna

Solve[B2,ω][[2,1]]//TraditionalForm

Prędkość ((grupowa )^((1)))

ω=Solve[B2,ω][[2,1,2]];
(Subscript[v, g])==(∂_k)ω//TraditionalForm

Odpowiedź

We wszechświecie płaskim prędkość grupowa jest stała (niezależna od skali zaburzenia) i fale akustyczne propagują się bez dyspersji.

We wszechświecie zamknietym prędkość grupowa  przyjmuje (zależne od k) warości dyskretne.  (Mod k=1 (ω=0) nie ma charakteru falowego.)

We wszechświecie otwartym (K=-1) prędkość grupowa maleje do zera gdy k->0.  Funkcje serii dodatkowej (-1<(k^2)<0) nie tworzą rozwiązań o charakterze falowym.

Poza krzywizną przestrzenną K nie ma wielkości fizycznych powodujacych dyspersję zaburzeń gęstości lub zmieniających charakter rozwiązań równania propagacji.

Referencje

J. M. Bardeen (1980) Phys. Rev. D 22 (8) 1882-1905

D. J. Jackson (1975) Classical Electrodynamics, John Willey & Sons, Inc
D. J. Jackson (1982) Elektrodynamika klasyczna, PWN, Warszawa

Źródło notatnika

http://www.oa.uj.edu.pl/~woszcz/Teaching/kosmologia/Bardeen_dyspersja.nb

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński