Rekurencja dla symbolu Newtona

Zadanie

Pokazać, że jedynym regularnym rozwiązaniem układu równań rekurencyjnych

eqn1:=  a(n+1,k+1)==((n+1  )/(k+1))a(n,k);
eqn2:=  a(n+1,k+1)==a(n,k)+a(n,k+1);

z warunkiem

warunek=a(1,1)==1;

jest symbol Newtona

a(n,k)==(({{n}, {k}}));

Rozwiązanie (Mathematica 6.0)

Clear&Declare

Clear[a,n,m,k];
(Subscript[f, 1])[m_]=1;(Subscript[f, 1])[m_]=.

Rozwiązanie pierwszego równania rekurencyjnego

RSolve[{eqn1},a[n,k],{n,k}]//Flatten//FullSimplify;
s1=%/.C[1]->(Subscript[f, 1])/.Gamma[1+k-n]->1;
a[n_,k_]=(a[n,k]/.s1/.Gamma[1+k-n]->1);

Otrzymujemy

a[n,k]

gdzie  (Subscript[f, 1])  jest dowolną funkcją argumentu (n-k).

Rozwiązanie drugiego równania rekurencyjnego

Roots[eqn2,(Subscript[f, 1])[-k+n]]//FullSimplify;
eq2b=%/.n->m+k

RSolve[eq2b,(Subscript[f, 1])[m],m]//Flatten;
s2=%/.m->n-k

a[n_,k_]=(a[n,k]/.s2)

Normalizacja stałej

a[n_,k_]=(a[n,k]/.Flatten[Solve[warunek]])

Sprawdzenie

Znaleziony ciąg  a[n, k]

a[n,k]//TraditionalForm

spełnia równania rekurencyjne

{eqn1,eqn2}//FullSimplify

Znaleziony ciąg jest dwumianem Newtona

a(n,k)==(({{n}, {k}}))//FullSimplify

Clear[a]

Z cyklu:   Proste zadania do nauki algebry komputerowej

Andrzej Woszczyna
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Uniwersytet Jagielloński